一个n阶矩阵A，主对角线上都是1，其他都是a，怎么化简成(n-1)a+1乘以一个一行1，一列0，1-a的那个爪形...

Question

一个n阶矩阵A，主对角线上都是1，其他都是a，怎么化简成(n-1)a+1乘以一个一行1，一列0，1-a的那个爪形行列式的？

Answer 1

由A可逆, A^-1 = A*/|A|
è®° A=(aij), A*=(Aij)^T
其中Aij=(-1)^Mij是aij的代数余子式, Mij是aij是余子式.

当i<j时, Mij 是一个主对角线上有0的上三角行列式的值
这个0就位于Mij的第i行第i列

所以此时 Mij=0, 对应有 Aij=0.
所以A*是一个上三角矩阵.
所以A^-1=A*/|A|是一个上三角矩阵.

帮助想像的例子:
A=(aij)=
1 2 3 4 5
0 2 33 4 6
0 0 6 7 0
0 0 0 9 8
0 0 0 0 9
a23=33 的余子式 M23=
1 2 4 5
0 0 7 0
0 0 9 8
0 0 0 9

证法二. 用初等行变换求逆矩阵的方法
(A,E)经初等行变换化成(E,A^-1)
由于A是上三角矩阵
在初等行变换中,只需2类变换
1. 将第j行的k倍加到第i行, 且 j>i.
2. 某行乘非零常数
在这两类变换时, 右边一块始终保持上三角的形式.
故最终所得A^-1是上三角矩阵.

Answer 2

对于爪型矩阵的化简方法是:把其他行的适当倍数加到第一行上去。
关于你的问题:把第2行到第n行全加到第一行去，第一行就全变成(n-1)a+1，提取它后第一行变成1