A是一个n阶数字矩阵,证:如果A^2=I,那么A相似于一个对角矩阵,并且该对角矩阵主对角线上元素为1或-1

Question

如题所述

Answer 1

用到几个基本的结论, 默认你知道, 需补充请追问.
1. 若A, B为n阶方阵, 则r(A)+r(B)-n ≤ r(AB).
2. 若A, B均为m×n矩阵, 则r(A)+r(B) ≥ r(A+B).
3. 若v1, v2,..., vs与u1, u2,..., ut分别是A的属于特征值a和b(a ≠ b)的线性无关的特征向量,
则v1, v2,..., vs, u1, u2,..., ut仍是线性无关的.

由条件得(A-I)(A+I) = A²-I = 0 (AI = A = IA).
于是由1, 有r(A-I)+r(A+I)-n ≤ r((A-I)(A+I)) = 0, 即r(A-I)+r(A+I) ≤ n.
又由2, 有r(A+I)+r(A-I) = r(A+I)+r(I-A) ≥ r(2I) = n.
因此r(A+I)+r(A-I) = n.

A的属于特征值1的特征向量即方程AX = X的解, 故1的特征子空间维数为n-r(A-I).
A的属于特征值-1的特征向量即方程AX = -X的解, 故-1的特征子空间维数为n-r(A+I).
二者的基础解系一共有n-r(A-I)+n-r(A+I) = n个向量.

由3, AX = X的基础解系与AX = -X的基础解系线性无关, 于是A有n个线性无关的特征向量.
于是A可对角化, 且特征值只能为1或-1.

Answer 2

可以假设A的Jordan标准型为B，则有PAP^-1=B，从而有B^2=I,接着容易推出B中没有2阶及2阶以上的Jordan块，从而B为对角阵，容易得到对角线上元素为1或者-1本回答被提问者采纳