对角线上是n-1，其他都为1的矩阵，怎么化简成最简式？

Question

对角线上是n-1，其他都为1的矩阵，怎么化简成最简式？如图，怎么化成后面的矩阵？

Answer 1

首先从第一行起
每一行都减去最后一行，再除以-n
就得到了首个非零元素为1
而最后一个元素为-1
再最后一行减去每一行
那么得到最后一行元素都为0
即完成了化简过程

Answer 2

首先从第一行起
每一行都减去最后一行，再除以-n
就得到了首个非零元素为1
而最后一个元素为-1
再最后一行减去每一行
那么得到最后一行元素都为0
即完成了化简过程
由A可逆, A^-1 = A*/|A|
记 A=(aij), A*=(Aij)^T
其中Aij=(-1)^Mij是aij的代数余子式, Mij是aij是余子式.
当i<j时, Mij 是一个主对角线上有0的上三角行列式的值
这个0就位于Mij的第i行第i列
所以此时 Mij=0, 对应有 Aij=0.
所以A*是一个上三角矩阵.
所以A^-1=A*/|A|是一个上三角矩阵.
帮助想像的例子:
A=(aij)=
1 2 3 4 5
0 2 33 4 6
0 0 6 7 0
0 0 0 9 8
0 0 0 0 9
a23=33 的余子式 M23=
1 2 4 5
0 0 7 0
0 0 9 8
0 0 0 9
证法二. 用初等行变换求逆矩阵的方法
(A,E)经初等行变换化成(E,A^-1)
由于A是上三角矩阵
在初等行变换中,只需2类变换
1. 将第j行的k倍加到第i行, 且 j>i.
2. 某行乘非零常数
在这两类变换时, 右边一块始终保持上三角的形式.
故最终所得A^-1是上三角矩阵.