高中数学数列问题 已知在数列an中： a1=2，a3=10；an+2-2an+1+an=2(n≥1

Question

高中数学数列问题
已知在数列an中：
a1=2，a3=10；an+2-2an+1+an=2(n≥1)
(1)求数列an的通项公式
(2)令bn=1/(an-2)，求数列bn的前n项和Sn

Answer 1

解：
(1)
a3-2a2+a1=2
a2=(a1+a3-2)/2=(2+10-2)/2=5
a(n+2)-2a(n+1)+an=2
[a(n+2)-a(n+1)]-[a(n+1)-an]=2，为定值
a2-a1=5-2=3
数列{a(n+1)-an}是以3为首项，2为公差的等差数列
a(n+1)-an=3+2(n-1)=2n+1=(n+1)²-n²
a(n+1)-(n+1)²=an-n²
a1-1²=2-1=1
数列{an-n²}是各项均为1的常数数列。
an-n²=1
an=n²+1
n=1时，a1=1²+1=2；n=2时，a2=2²+1=5；n=3时，a3=3²+1=10，均满足表达式
数列{an}的通项公式为an=n²+1
(2)
bn=1/(an-2)=1/(n²+1-2)=1/(n²-1)
n=1时，分母为0，无意义，因此你题目第二问肯定遗漏已知条件了，请核对。

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