高中数学问题！已知数列an满足a1+2a2+2²a3+......+2^n-1乘an=n²

Question

①求数列an的通项公式②求数列an的前n项和sn (前面的2^n-1里 n-1是平方)

Answer 1

1、当n=1时，a1=1
当n＞1时，a1+2a2+2²a3+......+2^(n-1)乘an=n² ①
a1+2a2+2²a3+......+2^(n-2)乘a(n-1)=(n-1)² ②
①-②得：2^(n-1)乘an=2n-1
解得：an=(2n-1)/2^(n-1)
当n=1时a1=1，上式成立
故 数列an的通项公式：an=(2n-1)/2^(n-1)
2、Sn=1+3/2+5/2^2+……+(2n-1)/2^(n-1) ①
Sn/2= 1/2+3/2^2+……+(2n-3)/2^(n-1)+(2n-1)/2^n ②
①-②得：Sn/2=1+[1+1/2+……+1/2^(n-2)]-(2n-1)/2^n
=1+2-4/2^n-(2n-1)/2^n
=3-(2n+3)/2^n
Sn=6-(2n+3)/2^(n-1)

Answer 2

(n+1)²-n²=2^n乘an+1
2n+1=2^n乘an+1

an+1=(2n+1)/2^n
an=(2n11)/2^(n-1)

Answer 3

a1+2a2+2²a3+......+2^n-1乘an=n²
a1+2a2+2²a3+......+2^n-1乘an+2^n乘an+1=(n+1)²

(n+1)²-n²=2^n乘an+1
2n+1=2^n乘an+1

an+1=(2n+1)/2^n
an=(2n11)/2^(n-1)追问

看不懂？可以清楚点吗

追答

哪个地方没看懂啊
a1+2a2+2²a3+......+2^n-1乘an=n² （1）
a1+2a2+2²a3+......+2^n-1乘an+2^n乘an+1=(n+1)² （2）
（2）-（1） 错位相减法：得
(n+1)²-n²=2^n乘an+1
2n+1=2^n乘an+1
an+1=(2n+1)/2^n
an=(2n11)/2^(n-1)

追问

第二问呢？

追答

an=(2n-1)/2^(n-1)

sn=1+3/2+5/2^2+..+(2n-1)/2^(n-1)
1/2sn=1/2+3/2^2+5/2^3+..+(2n-1)/2^n
错位相减法
1/2sn=1+(3/2-1/2)+(5/2^2-3/2^2)+...+[(2n-1)/2^(n-1)-(2n-3)/2^(n-1)-(2n-1)/2^n
1/2sn=1+1+1/2+...+1/2^(n-2)-(2n-1)/2^（n-1）
sn=2+2+1+...+1/2^(n-1)-(2n-1)/2^n
sn=4-(2n-1)/2^n+1+...+1/2^(n-1)
sn=4-(2n-1)/2^n+（1-1/2）/(1-1/2^(n-1))

sn=4-(2n-1)/2^n+1/(1-1/2^n)

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