已知已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*)证明:1/a1+1/a2+1/a3+...+1/an+1<2/3

Question

如题所述

Answer 1

a(n+1)=2an+1
a(n+1)+1=2an+2=2(an+1)
则
{an+1}为等比数列 公比q=2 首项a1+1=2
an+1=2^n
an=2^n-1
1/an=1/(2^n-1)<1/(2^n-2)<1/2^(n-1)
1/a1+1/a2+...+1/a(n+1)
=1+1/3+1/4+...+1/[2^(n+1)-1]
<1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^n
=[1-(1/2)^(n+1)]/(1-1/2)=2-(1/2)^n<2
1/a1+1/a2+...+1/a(n+1)<2
你那个我也不知道哦

Answer 2

推荐值得参考，只是从提问者提出的问题看，问题中的结果固然不对，但是我觉得倒是可以改成：证明:1/a1+1/a2+1/a3+...+1/an+1<3/2，以便结果的范围可以更缩小。
过程如下：借鉴楼上结论：an=2^n-1,
∵2^n=(1+1)^n=Cn(0)+Cn(1)+Cn(2)+…Cn(m)…+Cn(n) （0=<m=<n）
【Cn(m)为组合数。此步为二项式的展开过程】
∴当n>=2时，2^n-1>=n+n(n-1)/2=n(n+1)/2
=>1/an=1/(2^n-1)=<2/[n(n+1)]=2[1/n-1/(n+1)] 恒成立；
∴ 1/a1+1/a2+1/a3+...+1/an+1=1+1/a2+1/a3+...+1/an+1
=<1+2(1/2-1/3)+2(1/3-1/4)+……+2[1/(n+1)-1/(n+2)]
=1+2[1/2-1/(n+2)] 也恒成立
而1+2[1/2-1/(n+2)]是关于n在N上的增函数，故当n=2时有最小值，最小值为3/2，
故1/a1+1/a2+1/a3+...+1/an+1<3/2 恒成立

Answer 3

a(n+1) = 2 a(n) + 1
∴ a(n+1) + 1 = 2 [ a(n) + 1 ]
a(n+1) + 1 = 2^n (a1+1) = 2^(n+1)
a(n+1) = 2^(n+1) ﹣ 1
。。。