数列an中，已知a1=2，且对一切正整数n都有a(n+1)=(a1a2a3...an)+1

Question

求证：
1/a1+1/a2+1/a3+1/a4+...+1/an>=1/2+1/4+1/8+...+1/(2^n)
对一切正整数均成立.

Answer 1

这个问题是一个改编题，很不错，证明需要以下两步：
一、由递推关系：知a(n+1)-1=a1a2…an(其中n>=1),所以：a(n)-1=a1a2…a(n-1)，其中n>=2(。
所以a(n+1)-1=an*(an-1)(其中n>=2），实际上，检验知，这个式子对n>=1均成立。
所以两边取倒数，知：1/(a(n+1)-1)=1/(an-1)-1/an，移项知：1/an=1/(an-1)-1/(a(n+1）-1），对n求和，所以待证不等式左边=1/(a1-1)-1/(a(n+1)-1)=1-1/(a(n+1)-1)。而不等式的右边=1-1/2^n。
二、接下来就只要证明：a(n+1)-1>2^n。这个是很容易的。因为a1=2,归纳可知：an>2（对任意的n>=1)。所以a(n+1)>2*2…*2+1=2^n+1。
综合两方面，即可得解。
祝学习顺利！

Answer 2

左式化简=1-1/(a1a2a3...an);
右式化简=1-1/(2^n)
因为(a1a2a3...an)＞(2^n)
所以1/(a1a2a3...an)＜1/(2^n)
所以1-1/(a1a2a3...an)＞1-1/(2^n)

即
1/a1+1/a2+1/a3+1/a4+...+1/an>=1/2+1/4+1/8+...+1/(2^n)