复变函数的留数计算

Question

请带详细过程，谢谢！

Answer 1

解：设f(z)=z^2/[(1+z^2)(4+z^2)]，则f(z)在上半平面有两个一级极点z1=i、z2=2i。
∴按照留数定理，原式=2πi{Res[f(z),z1]+Res[f(z),z2]}。
而，Res[f(z),z1]=lim(z→z1)(z-z1)f(z)=z^2/[(i+z)(4+z^2)]丨(z=i)=-1/(6i)、Res[f(z),z2]=lim(z→z2)(z-z2)f(z)=z^2/[(1+z^2)(2i+z)]丨(z=2i)=1/(3i)，
∴原式=2πi[-1/(6i)+1/(3i)]=π/3。
供参考。追问

您好 答案是pi/6

我算的和你算的一样

是不是需要除以1/2呢？因为这只是负无限和正无限的一半

乘以1/2

追答

是的。漏了1/2。另外，直接用实积分、裂项，也可得丌/6。