复变函数的泰勒级数

这是一道sinz在z=0出的泰勒展开式，，我想了很久都未能想出划横线那一步是怎么得出来的，，请高手指点一二，，感激不尽，，还想多问一句这样的两级数加减有什么技巧吗，，在哪个知识里面能学到，，我看过级数但是没看到这种运算方法，，，

第1个回答 2013-07-09

没什么技巧，其实就是合并同类项而已
前一个级数z^n的系数为i^n/n!，
后一个级数z^n的系数为(-i)^n/n!，
∴相减后z^n的系数为(i^n-(-i)^n)/n!
=(1-(-1)^n)i^n/n!
由此可见当n为偶数时，上式=0
当n为奇数时，上式=2i^n/n!
∴相减后的级数没有偶次项
即只有奇次项，考虑到前面有个系数1/2i
所以每个奇次项z^(2k+1)，k=0,1,2,3....的系数为
i^(2k)/(2k+1)!=(-1)^k/(2k+1)!
写成求和的形式，把指标k换成n就是红线部分的式子本回答被提问者采纳

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