已知两曲线方程，求与这两条曲线均相切的直线方程

Question

比如已知Y=x^2,Y=-(x-2)^2; 求与这两曲线均相切的直线方程。 方法最重要： 答按：y=0或y=4*x-4

Answer 1

初中方法：
设与y=x^2,y=-(x-2)^2这两
曲线
均相切的
直线方程
为y=kx+b
则x^2=kx+b，-(x-2)^2=kx+b
即x^2-kx-b=0，x^2+（k-4）x+（b+4）=0均有两个相等的
实数根
所以△1=k^2+4b=0
,且△2=（k-4）^2-4（b+4）=0
即k^2+4b=0，且k^2-8k-4b=0
所以2k^2-8k=0
2k（k-4）=0
所以k=0或k=4
所以k=0时，b=0
或k=4，时b=-4
所以与这两曲线均相切的直线方程为y=0，或y=4x-4
高中方法：
设f(x)=x^2,
g(x)=-(x-2)^2
f'（x）=2x,
g'（x）=-2x+4
设两
切点
为A(a,a^2),
B[b,-(b-2)^2]
则AB的
斜率
等于两个切点的
导数
，
即kAB=f'(a)=g'(b)
所以（a^2+(b-2)^2)/(a-b)=2a=-2(b-2)
解之得a=0,b=2或a=2,b=0
所以切点A（0,0),k=f'(0)=0,
切线
为y=0
或切点A(2,4),k=f'(2)=4,切线为y-4=4(x-2)即y=4x-4
所以与这两曲线均相切的直线方程为y=0，或y=4x-4