已知双曲线x²/4-y²=1,直线L过P(-1,1)且与双曲线相切,求L的方程

Question

如题所述

Answer 1

双曲线x²-y²/4=1，过点P（1,1）的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的方程
解:
当直线斜率不存在时，直线为x=1,
经检验直线x=1与双曲线只有一个公共点,符合题意。

当直线斜率存在时，设直线L的直线方程为:y-1=k(x-1),
联立直线方程和双曲线方程,得:
x^2+2k(k-1)x-k^2+2k-5=0

1.当4-k^2=0时,即k=±2时，方程是一元一次方程，仅有一个解。
此时仅有一个交点，直线方程为y-1=2(x-1)或y-1=-2(x-1)
即y=2x-1,或y=-2x+3.

2.当4-k^2≠0时:
△=4k^2(k-1)^2-4(4-k^2) (-k^2+2k-5)=0，有一个交点
则:k=5/4 ，
此时直线方程为y-1=5/4*(x-1),即5x-4y-1=0
综上:
L有4条,即:x=1或y=2x-1,或y=-2x+3 或5x-4y-1=0.

Answer 2

设直线方程
y=k(x十1)十1
x²/4-[k(x-1)十1]²=1
x²-4(kx-k十1)²-4=0
方程有唯一根，Δ=0,求出k即可。可能有两个根。