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已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是√5x-2y=0
(1)求双曲线的方程
(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N,且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形面积为(81/2),求k的取值范围
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推荐答案 2013-02-19
分析:(1)设出双曲线方程,根据焦点坐标及渐近线方程求出待定系数,即得双曲线C的方程.(2)设出直线l的方程,代入双曲线C的方程,利用判别式及根与系数的关系求出MN的中点坐标,从而得到线段MN的垂直平分线方程,通过求出直平分线与坐标轴的交点,计算围城的三角形面积,由判别式大于0,求得k的取值范围.
解答:
解:
(Ⅰ)解:设双曲线C的方程为x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0).
由题设得a²+b²=9,b/a=√5/2,解得a²=4,b²=5,
所以双曲线方程为x²/4-y²/5=1.
(Ⅱ)解:设直线l的方程为y=kx+m(k≠0).
点M(x1,y1),N(x2,y2)的坐标满足方程组y=kx+m,x²/4-y²/5=1
将①式代入②式,得x²/4-(kx+m)²/5=1,
整理得(5-4k²)x²-8kmx-4m²-20=0.
此方程有两个一等实根,于是5-4k²≠0,
且△=(-8km)²+4(5-4k²)(4m²+20)>0.
整理得m²+5-4k²>0. ③
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(x0,y0)满足x0=﹙x1+x2﹚/2=4km/﹙5-4k²﹚,y0=kx0+m=5m/﹙5-4k²﹚.
从而线段MN的垂直平分线方程为y-5m/﹙5-4k²﹚=-1/k[x-4km/﹙5-4k²)].
此直线与x轴,y轴的交点坐标分别为(9km/﹙5-4k²﹚,0),(0,9m/﹙5-4k²﹚).
由题设可得1/2|9km/﹙5-4k²﹚|•|9m/﹙5-4k²﹚|=81/2.
整理得m²=(5-4k²)²/|k|,k≠0.
将上式代入③式得(5-4k2)2|k|+5-4k2>0,
整理得(4k²-5)(4k²-|k|-5)>0,k≠0.
解得0<|k|<√5/2或|k|>5/4.
所以k的取值范围是(-∞,-5/4)∪(-√5/2,0)∪(0,√5/2)∪(5/4,+∞).
点评:本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理运算能力.
有疑问可以追问哦,。
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一道
双曲线
题
答:
http://www2.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200825/101ktb/lanmu/6.13/gtcs1055/gtcs1055.htm 这个网站的21题就是这个题..最下面有详细的解答..
已知中心在原点的双曲线C的一个焦点F1(-3,0),一条渐近线的方程是
...
答:
⑴个焦点F1(-3,0)
,∴C=3∴a^2+b^2=c^2=9
① 一条渐近线的方程是(√5)x
-2y=0.∴b/a=√5/2∴b^2/a^2=5/4 ② 由①②得:a^2=4,b^2=5 ∴双曲线C的方程为:x^2/4-y^2/5=1.
...
的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是
根号
5X-2Y=0
.
答:
设
双曲线方程
为
(5x
)^2-
(2y
)^2=m(m>
0),
∴m/25+m/4=9,m=900/29.∴双曲线方程为25x^2-4y^2=900/29.把y=kx+b代入上式得 (25-4k^2)x^2-8bkx-4b^2-900/29
=0,
△/4=16b^2k^2+(25-4k^2)(4b^2+900/29)=100b^2+22500/29-3600k^2/29>0,b^2>9(4k^2-25)/29....
已知中心在原点的双曲线C的一个焦点F1(-3,0),一条渐近线的方程是
...
答:
y=kx+m 代入
双曲线
得到一元二次
方程
有韦达定理得到x1+x2 所以中点横坐标就是(x1+x2)/2 纵坐标是(y1+y2)/2 =(kx1+m+kx2+m)/2 =k(x1+x2)/2+m
...
的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线方程是√5x-2y=0
答:
解:(Ⅰ)解:设
双曲线C的方程
为 x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).由题设得 {a2+b2=9ba=52,解得 {a2=4b2=5,所以双曲线方程为 x24-y25=1.(Ⅱ)解:设直线l的方程为y=kx+m(k≠0).点M(x1,y1),N(x2,y2)的坐标满足方程组 {y=kx+mx24-y25=1 将①式代入②式,...
...
一个焦点F1(-3,0),一条渐近线的方程是
(
√
5)
x-2y=0
. .若以k(k≠0...
答:
x^n-2)½m2-0.5mn=0.5m(m-n)3a2b3-4a3b2+5a的四次方b=a2b(3b2-4ab+5a2)6xy(2x-y)-3x(-2x+y)=3x(2x-y)(y+1)2a的m+1次方+4a的m次方-2a的m-1次方=2a^(m-
1)
(a2+2a-1)c(a-b)2-(b-a
)3=(
a-b)2(c-1)...
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已知双曲线中心在原点且一个焦点为
已知中心在原点双曲线左焦点为
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双曲线离心率越大焦点越靠近原点嘛
双曲线中心在原点是什么意思
双曲线焦点到渐进线的距离是多少
双曲线焦点到原点的距离
双曲线焦点到准线的距离是
双曲线渐近线方程