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高二数学关于双曲线的一道难题已知F是双曲线x²/4-y²/1...
高二数学关于双曲线的一道难题 已知F是双曲线x²/4-y²/12=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值是多少?
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第1个回答 2019-12-13
本题容易犯的错误是
|PF|+|PA|≥|FA|,(
三角形
中两边之和大于第三边)
但是等号成立的条件是P是FA与
双曲线
右支的交点,无法满足,所以需要转化
F是双曲线x²/4-y²/12=1的左焦点
设F‘是双曲线x²/4-y²/12=1的右焦点
a²=4,b²=12
∴
a=2,c²=a²+b²=16
∴
F’(4,0)
利用双曲线的定义,P在右支上
|PF|-|PF’|=2a=4
∴
|PF|+|PA|
=4+|PF'|+|PA|
≥
4+|F'A|
(三角形中两边之和大于第三边)
=4+√[(4-1)²+(0-4)²]
=4+5
=9
等号成立时,P是线段AF'与双曲线的交点.
∴
|PF|+|PA|的最小值是9
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已知f
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