已知圆M：X^2+(y-2)^2=1,点Q是X轴上的动点，QA，QB分别切圆M与AB两点

Question

已知圆M:x^2+(y-2)^2=1,Q为x轴上的动点,QA,QB分别切圆M于A,B两点

已知圆M:x^2+(y-2)^2=1,Q为x轴上的动点,QA,QB分别切圆M于A,B两点
（1）若|AB|=(4√2)/3,求直线MQ的方程
（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程

Answer 1

解（1）设Q（m,0）,M(0,2)
以QM为直径和一圆的方程可用直径式得：（x-0）(x-m)+y(y-2)=0
把以下两等式联立解：x^2+y^2-mx-2y=0 ①
x^2+y^2-4y+3=0 ②得mx-2y+3=0
所以AB恒过一定点（0，3/2）

（2）设P(m,n),则直线MP为:(y-2)/x=(n-2)/m
所以直线MP与X轴的交点Q为：(-2m/(n-2),0)
因为MA^2=MP·MQ,所以MP·MQ=1
所以[m^2+(n-2)^2][4m^2/(n-2)^2+4]=1
即m^2+(n-9/4)^2=1/16 4m^4/(n-2)^2+4m^2+4m^2+4(n-2)^2=1
4m^4/(n-2)^2+8m^2+4(n-2)^2=1
也就是：x^2+(y-9/4)^2=1/16