已知圆M :x^2+(y-2)^2=1,Q是x轴上的的动点，QA,QB分别切圆M于A,B两点

Question

（1）若点Q的坐标为（1，0），求切线QA，QB的方程
（2）求四边形QAMB的面积的最小值

Answer 1

：（1）Q(m,0)，R=1，M（0，2）
连接QM交AB于P，则MQ垂直平分AB
MP=√[R^2-（AB/2）^2]=1/3
R/MP=MQ/R
MQ=R^2/MP=3
所以：MQ^2=m^2+2^2=9,m=±√5
直线MQ：M(0,2),Q(±√5,0)两点式
y=2√5x/5+2或y=-2√5x/5+2

2)
圆心M（0，2），AB中点G（r,s),切点（x,y)
Q(m,0)
x^2+(y-2)^2=1............1)
MQ^2=MB^2+BQ^2
m^2+4=1+(x-m)^2+y^2
=4y-2mx-3+x^2+(y-2)^2=4y-2mx-2
整理：mx-2y+3=0..............2)
1），2）连立：
(4+m^2)x^2-2mx-3=0
r=(x1+x2)/2=m/(m^2+4)........3)
(4+m^2)y^2-4(3+m^2)y+3m^3+9=0
s=2(3+m^2)/(m^2+4)............4)
3),4)连立消掉参数m:
r^2+s^2-7s/2+3=0
所以AB中点轨迹方程：
x^2+y^2-7y/2+3=0

Answer 2

M(0,2),r=1
|QA|=|QB|=2
解下议程组：
x^2+(y-2)^2=1......(1)
(x-1)^2+y^2=2^2=4......(2)
得
A(1,2),B(-0.6,1.2)
切线
QA:x=1
QB:3x+4y-3=0
r=1，QA+QB最小=2√3，四边形QAMB的面积的最小=√3

Answer 3

2 圆M：x2+（y-2）2=1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A，B两点
∴MA⊥AQ，MA=1．
∴SQAMB=2S△AQB=MA•QA=QA=MQ2-MA2=MQ2-1≥MO2-1=3．