已知园M:X^2+(y-2)^2=1,Q是X轴上的动点,QA,QB分别切圆M于A,B两点

Question

已知圆M：X2+（Y-2）2=1，Q是X轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A,B两点，
①若|AB|长为（4√5）/5，求直线MQ的方程

Answer 1

因为∠OAQ=∠OBQ=90度
所以A,B,Q,O四点共圆,
连接QO交AB于C,可知QO是四点所共圆的直径,
有 OC*CQ=AC*BC=(2√5)/5)²=4/5
且知 OC²=AO²-AC²=1-4/5=1/5,
OC=√5/5
从而 CQ=(4/5)/(√5/5)=4√5/5
至此可求出 OQ=CQ+OC=√5
X轴上与圆O的距离为√5的点可求出:
√(x²+2²)=√5, x=1或-1
可知Q1(1,0), Q2(-1,0)
MQ方程有2条
2x+y-2=0
2x-y+2=0

Answer 2

1)Q(m,0)，R=1，M（0，2）
连接QM交AB于P，则MQ垂直平分AB
MP=√[R^2-（AB/2）^2]=1/3
R/MP=MQ/R
MQ=R^2/MP=3
所以：MQ^2=m^2+2^2=9,m=±√5
直线MQ：M(0,2),Q(±√5,0)两点式
y=2√5x/5+2或y=-2√5x/5+2

Answer 3

证明:圆M
:x^2+(y-2)^2=1
∴圆心M(0,2)半径r=1
设Q坐标为(m,0)A坐标为(X1,Y2)B坐标为(X2,Y2)
∵QA,QB分别切圆M于A,B两点
∴QA⊥MA,QB⊥MB
∴△MAQ,△MBQ均为Rt△
∴MQ²=MA²+AQ²
∴m²+2²=1+(X1-m)²+Y1²
同理得，
m²+2²=1+(X2-m)²+Y2²
∴点A、B是圆M与圆(X-m)²+Y²=m²+3的公共点
∴直线AB的方程为mX-2Y+3=0
∴直线AB恒过定点，定点为(0，1.5)