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设连续函数f(x)满足f(x)+2∫(x上0下)f(e)dt=x的平方 ,求f(x)
如题所述
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推荐答案 2012-12-08
f(x) + 2∫[0→x] f(t) dt = x²
题是这样的吧?
两边求导:f '(x) + 2f(x) = 2x
将x=0代入原式得:f(0)=0
这样问题转化为微分方程的初值问题
这是一阶线性微分方程,套公式即可
f(x)=e^(-∫ 2dx)[∫ 2xe^(∫ 2dx) dx + C]
=e^(-2x)[∫ 2xe^(2x) dx + C]
=e^(-2x)[∫ x de^(2x) + C]
=e^(-2x)[xe^(2x) - ∫ e^(2x) dx + C]
=e^(-2x)[xe^(2x) - (1/2)e^(2x) + C]
=x - 1/2 + Ce^(-2x)
将f(0)=0代入后得:C=1/2
因此:f(x) = x - 1/2 + (1/2)e^(-2x)
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其他回答
第1个回答 2012-12-08
f(x)+2∫(0,x)f(e)dt=x²
两边求导
f'(x)+2f(e)=2x
f'(x)=2x-2f(e)
f(x)=x²-2f(e)x+C
f(e)=e²-2f(e)*e+C
f(e)=(e²+C)/(1+2e)
f(x)=x²-2(e²+C)x/(1+2e)
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设连续函数f(x)满足f(x)+2∫
[
0
→x]f(t
)d t=x
^2,则f(x)=___. 请老师...
答:
f(x)+2∫(0
->x
) f(
t
) dt=x
^2 f'(x) + 2f(x) = 2x let yg= Ae^(-2x)yp =Cx +D yp' + 2yp = 2x C + 2Cx +2D =2x 2Cx + (C+2D) =2x => C=1 and D=-1/2 y = yg+yp =Ae^(-2x) + x -1/2 y(0) =0 A- 1/2 =0 A=1/2 ie f(x) =(1...
若
函数f(x)
在(-∞,+∞)内
连续,
且
满足f(x)+2∫
[
0
,x]f(t
)dt=x
^2
,求f
...
答:
通解为:f=e^(-2x)(C+∫2xe^(2x)dx)=e^(-2x)(C+2xe^(2x)-2e^(2x)).由于
f(
0)=0,代入得C=2 f=e^(-2x)(2+2xe^(2x)-2e^(2x)).
求
连续函数f(x),
使它
满足f(x)+2∫
_
0
^x▒〖f(t0
dt
〗
=x
^2
答:
令F(x)=∫_0^x〖f(t
)dt
〗,则因为
f(x)连续,
所以F(x)可导.原方程变为,F'
(x)+
2
F(x)=x
^2.这是一个一阶非齐次常微方程,利用常数变异法可解得
,F(x)
= 1/2*x^2 - 1/2*x+1/4+C*exp(-2x); 其中C为任意常数.从而
f(x)=x
-1/2-2C*exp(-2x).再将此式带回原方程确定C...
求
连续函数f(x)
使
满足
等式
f(x)+2∫
_
0
^x▒〖f(t)〗
dt=e
^(-3x)
答:
设y
=f(x),
则
f(0)=
1 对已知式两边求导得: y'+2y=-3e^(-3x)两边同乘以e^(2x) : (y.e^(2
x))
'=-3e^(-x)y.e^(2x)=3e^(-
x)+
C y=3e^(-3x)+Ce^(-2x) 即
f(x)=
3e^(-3x)+Ce^(-2x)由f(0)=1 得 f(x)=3e^(-3x)-2e^(-2x)所以 f(x)=3e^(-3x...
设f(x)为
连续函数,
且
f(x)=x+2∫
上限是1下限是
0f(
t
)dt,
试
求f(x
...
答:
∫[0,1] f(x)dx = A 定积分是一个常数。 设 f(x)
= x
+A ∫[0,1] (x+A)dx =(1/2*x^2+Ax)|[0,1]=(1/2+A) -->
f(x)=x
+ 2(
1/2+A)=x+1+2A =x+A --> A=-1 f(x)=x-1
f(x)为
连续函数,f(x)=x+2∫(上
1下
0) f(
t
)dt
,则f(x)=?
答:
约定:∫[a,b] 表示求[a,b]区间上的定积分.设M=∫[0,1]f(t)dt 由
f(x)=x
+2M 得 M=∫[0,1](x+2M
)dt =((
1/2)x^2+2Mx)|[0,1]=1/2+2M 即 M=1/2+2M 解得 M=-1/2 所以 f(x)=x+2M=x-1 希望对你有点帮助!
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