方程f(x)=
f()dt+e
2x 两边同时对 x 求导,可得
f′(x)=3f(x)+2e
2x,
即 f′(x)-3f(x)=2e
2x.
因为一阶微分方程 y′+P(x)y=Q(x) 的通解公式为
y=e-∫p(x)dx(∫Q(x)e∫p(x)dxdx+C),
故
f(x)=e
∫3dx(∫2e
2xe
∫-3dxdx+C)
=e
3x(∫2e
-xdx+C)
=e
3x(-2e
-x+C)
=Ce
3x-2e
2x.
因为 f(0)=e
0=1,代入可得 C=3.
故
f(x)=3e
3x-2e
2x.