若函数f(x)在（-∞，+∞）内连续，且满足f(x)+2∫[0,x]f(t)dt=x^2,求f(x)

Question

如题所述

Answer 1

求导得:f'+2f=2x
通解为:f=e^(-2x)(C+∫2xe^(2x)dx)
=e^(-2x)(C+2xe^(2x)-2e^(2x)).
由于f(0)=0,代入得C=2
f=e^(-2x)(2+2xe^(2x)-2e^(2x)).追问

答案为：f(x)=1/2*e^(-2x)+x-1/2

追答

哦,2看掉了
:f=e^(-2x)(C+∫2xe^(2x)dx)
=e^(-2x)(C+(1/2)∫2xe^(2x)d2x)
=e^(-2x)(C+xe^(2x)-(1/2)e^(2x)).
由于f(0)=0,代入得C=1/2
f=e^(-2x)(1/2+xe^(2x)-(1/2)e^(2x)).
=1/2*e^(-2x)+x-1/2