求连续函数f(x）,使它满足f(x)+2∫_0^x▒〖f(t0dt〗=x^2

Question

如题所述

Answer 1

令F(x)=∫_0^x〖f(t)dt〗,则因为f(x)连续,所以F(x)可导.原方程变为,
F'(x)+2F(x)=x^2.这是一个一阶非齐次常微方程,利用常数变异法可解得,
F(x) = 1/2*x^2 - 1/2*x+1/4+C*exp(-2x); 其中C为任意常数.
从而f(x)=x-1/2-2C*exp(-2x).
再将此式带回原方程确定C值,可得C=-1/2
因此,f(x)=x-1/2+exp(-2x)