2*2矩阵（cos a,-sin a;sin a,cos a）^n=（cosn a,-sinn a;sinn a,cosn a）可以用欧拉公式证吗

Question

利用e^ina=cos na+i*sin na怎么证（cos a,-sin a;sin a,cos a）^n=（cos na,-sin na;sin na,cos na）

Answer 1

个人觉得这个结论最方便的证法还是用数学归纳法, 计算不困难, 同时只用到和角公式.

如果一定要利用Euler公式, 可以借助以下观察:
行列式为1的2阶正交矩阵总能表示为[cos(θ), -sin(θ); sin(θ), cos(θ)], 记为S(θ).
证明很容易, 只用到正交矩阵各列构成一组标准正交基, 以及行列式为1的条件, 具体就不写了.

矩阵S(θ)的特征多项式为x²-2cos(θ)x+1 = 0, 特征值为e^(iθ)与e^(-iθ),分别对应特征向量(1,-i)'与(1,i)'.
故对可逆矩阵T = [1,1;-i,i]有: T^(-1)·S(θ)T = [e^(iθ), 0; 0, e^(-iθ)] (对任意θ均成立).
于是T^(-1)·S(θ)^n·T = [e^(iθ), 0; 0, e^(-iθ)]^n = [e^(inθ), 0; 0, e^(-inθ)] = T^(-1)·S(nθ)T.
由T可逆, 得S(θ)^n = S(nθ), 即所求证.

还有一种看法, 定义矩阵指数函数exp(X) = ∑{0 ≤ k} X^k/k!.
可证明该级数对任意方阵收敛, 并具有性质:
若X, Y都是n阶方阵并满足XY = YX, 则exp(X)exp(Y) = exp(X+Y).
作为推论, 有exp(X)^n = exp(nX).
考虑矩阵J = [0,-1,1,0], 易验证J² = -E, 故J^(2k) = (-1)^k·E, J^(2k+1) = (-1)^k·J.
于是可得exp(θJ) = ∑{0 ≤ k} (-1)^k·θ^(2k)/(2k)!·E+∑{0 ≤ k} (-1)^k·θ^(2k+1)/(2k+1)!·J
= (∑{0 ≤ k} (-1)^k·θ^(2k)/(2k)!)·E+(∑{0 ≤ k} (-1)^k·θ^(2k+1)/(2k+1)!)·J
= cos(θ)E+sin(θ)J
= S(θ).
故S(θ)^n = exp(θJ)^n = exp(nθJ) = S(nθ), 即所求证.

最后多说一点, 其实复数a+bi可对应为二阶实矩阵[a,-b;b,a], 可验证这个对应保持运算(代数同态).
而此时复数e^(iθ)所对应的矩阵恰为S(θ), e^(inθ) = (e^(iθ))^n对应矩阵S(nθ).
由该对应保持运算即得S(nθ) = S(θ)^n.