(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ,对所有的θ∈R均成立？

Question

如题所述

Answer 1

这个等式对于所有实数 $\theta$ 不一定成立。
该等式是欧拉公式的一个推论，即 $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$。
将其展开为幂级数得到 $(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos^n \theta + \binom{n}{1}i \cos^{n-1} \theta \sin \theta - \binom{n}{2}\sin^2 \theta \cos^{n-2} \theta - \dotsb + i^n \sin^n \theta$。
可以看出，等式右侧的实部和虚部都是 $\cos n\theta$ 和 $\sin n\theta$，因此该等式对于所有整数 $n$ 成立。
但对于某些特定的非整数 $n$，该等式可能不成立，例如当 $n=\frac{1}{2}$ 时，等式左侧为 $\sqrt{\cos \theta + i \sin \theta}$，这个值不总是等于 $\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2}$。

Answer 2

确实如此，根据复平面几何中的公式，(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ，可以看出，对于所有的θ∈R，该公式均成立。

Answer 3

这个命题可以这样来证明：
(cosθ + isinθ)² =cos²θ + 2cosθ * isinθ + i² sin²θ
=(cos²θ -sin²θ) + i * (2sinθcosθ) 注：i² = -1，下同
=(cos2θ) + isin2θ
(cosθ+isinθ)³ =(cosθ + isinθ) * (cosθ + isinθ)²
=(cosθ + isinθ) * (cos2θ + isin2θ)
=(cosθcos2θ + i²sinθsin2θ)+i*(cosθsin2θ+sinθcos2θ)
=(cosθcos2θ - sinθsin2θ) + i*sin(2θ+θ)
=cos(θ+2θ) + isin3θ
=cos3θ + isin3θ
…………
依次类推，假设：(cosθ+isinθ)^(n-1) = cos(n-1)θ + isin(n-1)θ
那么有：
(cosθ+isinθ)^n =(cosθ+isinθ) * (cosθ+isinθ)^(n-1)
=(cosθ+isinθ) * [cos(n-1)θ + isin(n-1)θ]
=[cosθcos(n-1)θ+i²sinθsin(n-1)θ] + i*[cosθsin(n-1)θ + sinθcos(n-1)θ]
=[cosθcos(n-1)θ -sinθsin(n-1)θ] + isin[(n-1)θ+θ]
=cos[θ+(n-1)θ] +isin(nθ)
=cos(nθ) +isin(nθ)
可见，这个等式一直成立！本回答被网友采纳