设f(x)=0,则f(x)在点x=0可导的充要条件

Question

高等数学问题
设f(0)=0 则f(x)在点x=0可导的充要条件是：其中有个选项是 lim f(h-sinh)/h^2 h趋近于0 请问这个怎么看 书上说 这个只能保证f(x)在x=0的右导数存在,不能保证f(x)在x=0可导,所以这个选项错误.

Answer 1

f（0）=0不是f（x）在点x=0处可导的充要条件

f（0）左右导数存在且相等是可导的充分必要条件

f（0）可导，f（0）必需连续

扩展资料：

函数f（x）在某一点是否可导，要判断f（x）在这个点左右导数存在且相等，如果不存在，不可导，如果不相等，也不可导。

例如：f（x）=|x|，在x=0点连续，不可导，因为在x=0的左右导数不相等

导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

参考资料来源：导数_百度百科

Answer 2

根据导数的定义可以写出 f(x)在点x=0可导的充要条件是
lim [f(h-sinh)-f(0)]/[(h-sinh)-0] h趋近于0 存在.
又
lim f(h-sinh)/h^2
=lim {[f(h-sinh)-f(0)]/[(h-sinh)-0]}*[(h-sinh)/h^2]
可以发现 当h趋近于0时,[(h-sinh)/h^2]=0,
这个时候[f(h-sinh)-f(0)]/[(h-sinh)-0]只要有界,
那么 lim f(h-sinh)/h^2 就可以存在,
无法保证 [f(h-sinh)-f(0)]/[(h-sinh)-0] 在h趋近于0 时存在,
所以无法保证 f(x)在x=0 可导.连右导数也不能保证.

Answer 3

导数存在必须△y/△x=k
可以理解为它们是同阶的，这个是连续吧