设f(x)=0,则f(x)在x=0可导的充要条件是

Question

A.lim h趋近于0 1/h[f(h)-f(-h)]存在
B.lim h趋近于0 1/h^2f(cosh-1)存在
C.lim h趋近于0 1/h[f(1-e^2h]存在
D.lim h趋近于0 1/h^2f(h-sinh)存在
说清楚原因

Answer 1

我把你后面长长的那些看作分子啊，自己也不明白斜体会让人产生误解，应该注明的嘛！
首先导数的定义为lim [f(h)-f(0)]/h当h→0是的极限值，并且定义中的h可正可负，从而左导等于右导。
A：可导可以推出A答案值为2f'(0)，但是反之不能推出来（比如说0是可移不连续点，而其他地方定义为常值函数你可看出）
B：令t=cosh-1当h→0时只能保证t从左边趋向0，不能保证右导数的存在，但是必要性是对的；
C：注意h→0时，1-e^2h→0并且是可以保证两边趋于0，并且f(0)=0所以跟定义等价，跟定义等价的一定是充要条件；
D：同理B，令t=h-sinh它只能保证右边趋向0；

所以选C

Answer 2

答案是C，只要通过导数定义和极限性质慢慢推就行了：

A:x为有理数则f(x)=1反之f(x)=0。这样的f满足A但显然不可导。

B:x>=0时f取A里同样的定义，x<0时f(x)=0。f满足B但显然不可导。

C：1-e^2h等价于-2h，所以C等价于f(-2h)/h有极限，等价于f在0处可导。

D:h-sinh=O(h^3),所以取f(x)=x^(2/3)，就有f(h-sinh)/h^2->(1/6)^(2/3)。但f显然在0不可导。

Answer 3

选b
必要性就不谈了，如果f'(0)存在四个选项中的极限都存在，只要看充分性。
a.
y
=
1-cosh
～
h^2/2
>=0，lim
f(y)/y
*
lim(1-cosh)/h^2
=
1/2
*
lim
f(y)/y
存在，注意y>=0，所以这个只表明f'(0+)存在，但是并不能说明左导数也存在，比如x>=0时f(x)=x，x<0时f(x)=1。
b.
y
=
1-e^h
～
-h，lim
f(y)/y
*
lim(1-e^h)/h
=
-lim
f(y)/y，这个说明f'(0)存在。
c.
y
=
h-sinh
～
h^3/3，连阶数都不对。
d.
f在0点的连续性没有保障，不用谈可导，比如f(0)=0，x非零时f(x)=1。

Answer 4

答案是C，只要通过导数定义和极限性质慢慢推就行了：
A:x为有理数则f(x)=1反之f(x)=0。这样的f满足A但显然不可导。
B:x>=0时f取A里同样的定义，x<0时f(x)=0。f满足B但显然不可导。
C：1-e^2h等价于-2h，所以C等价于f(-2h)/h有极限，等价于f在0处可导。
D:h-sinh=O(h^3),所以取f(x)=x^(2/3)，就有f(h-sinh)/h^2->(1/6)^(2/3)。但f显然在0不可导。

Answer 5

A