线性代数 为什么说 n阶矩阵A 如果r（A）=n-1 那么A有n-1阶子式不等于0？ 全=0呢 怎么不可能

Question

线性代数 为什么说 n阶矩阵A 如果r（A）=n-1 那么A有n-1阶子式不等于0？

全=0呢 怎么不可能 我想不出来 还有 =0是说子式=0还是子式的行列式的值=0呢 怎么证出A的伴随矩阵的秩>=1

Answer 1

1）矩阵的秩是矩阵的不为0的子式的最高阶数。若r(A)=n-1, 则由矩阵的秩的定义可知，矩阵A至少一个n-1阶子式不为0.

2）若n-1阶子式全＝0，则矩阵A的秩最大为n-2。

3）子式其实就是一个行列式，没有“子式的行列式”这一说法。

4）只要能够得到矩阵A的一个n-1阶子式不为零，则说明矩阵A的伴随矩阵是一个非零矩阵，这就说明 了A的伴随矩阵的秩>=1

Answer 2

矩阵的秩就是矩阵最高阶非零子式的阶数
伴随矩阵的元素是矩阵的n-1阶子式（或相反数，视符号而定），因此A有n-1阶子式不为零，意味着A* 有非零元，根据秩定义，R(A*)>=1

Answer 3

矩阵的秩是值不为零的最高阶行列式（注意是最高阶）。按照定义，秩为n-1说明n-1阶不为零（这已经是对应最高阶），在高一阶就是n阶行列式，值肯定是0了