线性代数 为什么如果n阶矩阵A r（A）等于n-1 那么它的伴随矩阵的秩是大于等于1？怎么证明的啊

Question

我怎么就看不出来呢

Answer 1

结论：r(A) ===> r(A*)=n
r(A)=n-1 ===> r(A*)=1
r(A)<n-1 ===> r(A*)=0

利用等式A·A* = |A|·E_n （n阶单位矩阵）即可得第一个关系。
当r(A)＜n，有|A|=0，于是：
若r(A)小于n-1，则每个n-1阶子阵的行列式为0，从而由A*的定义知A*=0；
若r(A)等于n-1，则由A·A* = |A|·E_n知，A·A* = 0。但是由不等式
r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n
知，
0 = r(A·A*) ≥ r(A) + r(A*) - n = n-1 + r(A*) -n = r(A*) -1
即r(A*) ≤ 1。但是A至少有一个n-1阶子阵的行列式不为0，于是由A*的定义知r(A*) = 1

参考 http://zhidao.baidu.com/question/30325581.html

Answer 2

r(A)=n-1,说明A至少有一个不为0的n-1阶子式。于是，A*就至少有一个元素不为0，A*的秩就大于等于1