线性代数问题

Question

n阶方阵A，A*为A的伴随矩阵，求证1：当r（A）=n-1时，r（A*）=1；
2：当r（A）＜n-1时，r（A*）=0。先谢了

Answer 1

1、当r（A）=n-1时：
由于 AA*=det(A)I=0
Ax=0 的基础解系的向量个数是 n-r(A)=1
所以 r(A*)≤1
又因为A*的矩阵元是A的n-1阶代数余子式，因为r(A)=n-1，必有不为零的代数余子式。
那么A*必有一个矩阵元不为零，那么r(A*)≥1
所以 r(A*)=1
2：当r（A）＜n-1时：
r（A）＜n-1 ，那么任何一个n-1阶的代数余子式必为零
可知A*的所有矩阵元为零。
所以 r（A*)=0