已知△ABC内接于圆O,AB为直径,弦CE⊥AB,C是弧AD的中点,连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD,分别交CE、

Question

已知△ABC内接于圆O,AB为直径,弦CE⊥AB,C是弧AD的中点,连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD,分别交CE、BC于点P，Q
（1）求证：P是△ACO的外心,

（2）若tan∠ABC=3/4，CF=8，求CQ的长
（3）求证：（FP+PQ）²=EP·PG
1

Answer 1

（1）证明：∵C是 的中点，∴ ，
∴∠CAD=∠ABC
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∴∠CAD+∠AQC=90°
又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°
∴∠AQC=∠PCQ
∴在△PCQ中，PC=PQ，
∵CE⊥直径AB，∴
∴
∴∠CAD=∠ACE．
∴在△APC中，有PA=PC，
∴PA=PC=PQ
∴P是△ACQ的外心．
（2）解：∵CE⊥直径AB于F，
∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC= ，CF=8，
得 ．
∴由勾股定理，得
∵AB是⊙O的直径，
∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC= ，
得 ．
易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴AC2=CQ•BC
∴ ．
（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°
∴∠DAB+∠ABD=90°
又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90°
∴∠DAB=∠G；
∴Rt△AFP∽Rt△GFB，
∴ ，即AF•BF=FP•FG
易知Rt△ACF∽Rt△CBF，
∴FG2=AF•BF（由射影定理得）
∴FC2=PF•FG
由（1），知PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC
∴（FP+PQ）2=FP•FG ．

Answer 2

（1）你的第一问应是求证：P是ACQ的外心
如图，证明：因AB为⊙O的直径，所以∠ACB=90°，所以∠CAB+∠CBA=90°，
因CE⊥AB，所以∠CAB+∠ACE=90°
所以∠CBA=∠ACE，
因C为弧AD的中点，所以弧AC=弧CD，所以∠CAD=∠CBA，
所以∠ACE=∠CAD， 所以CP= AP。
因∠CQP=∠QAB+∠CBA,所以∠CQP=∠QAB+∠CAD=∠ECB ，所以PC=PQ ，
所以，点P是△ACQ的外接圆圆心即△ACQ外心。
（2）CF=8，我不知道指的是哪条线段。

Answer 3

（1）你的第一问应是求证：P是ACQ的外心
如图，证明：因AB为⊙O的直径，所以∠ACB=90°，所以∠CAB+∠CBA=90°，
因CE⊥AB，所以∠CAB+∠ACE=90°
所以∠CBA=∠ACE，
因C为弧AD的中点，所以弧AC=弧CD，所以∠CAD=∠CBA，
所以∠ACE=∠CAD， 所以CP= AP。
因∠CQP=∠QAB+∠CBA,所以∠CQP=∠QAB+∠CAD=∠ECB ，所以PC=PQ ，
所以，点P是△ACQ的外接圆圆心即△ACQ外心。

Answer 4

(2)利用△CAQ~△CBA~△FBC
算出BF,BC,AC的长，得出CQ的长

Answer 5

CE垂直平分AO吧