f(x)为（负无穷大，正无穷大）上的奇函数，

Question

X>0时，f(x)=(x-1)(x-2),讨论F(x)=f(x)-m的零点个数。

Answer 1

（1）X>0时，f(x)=(x-1)(x-2)，

（2）因为f(x)为奇函数，所以f(0)=f(-0)=-f(0)，所以x=0时，f(x)=0,

（3）x<0时，-x>0，f(-x)=[(-x)-1][(-x)-2]=(x+1)(x+2)，因为f(x)为奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-(x+1)(x+2)，

即

         (x-1)(x-2)     X>0

f(x)= 0                   x=0

        -(x+1)(x+2)   x<0

图像为

（4）“F(x)=f(x)-m的零点个数”即“方程f(x)=m”的解个数，

亦即方程组

y=f(x)

y=m

的解的个数

x∈(-∞，-1/2]时，f(x)是增函数，f(x)∈(-∞，1/4]，

x∈(-1/2，0)时，f(x)是减函数，f(x)∈(-2，1/4)，

x=0时，f(x)=0,

x∈(0，1/2)时，f(x)是减函数，f(x)∈(-1/4，2)，

x∈(1/2，+∞]时，f(x)是增函数，f(x)∈(-1/4，+∞]，

所以

m∈(-∞，-2]时，方程f(x)=m有1解，即F(x)=f(x)-m有1个零点，

m∈(-2，-1/4)时，方程f(x)=m有2解，即F(x)=f(x)-m有2个零点，

m=-1/4时，方程f(x)=m有3解，即F(x)=f(x)-m有3个零点，

m∈(-1/4，0)时，方程f(x)=m有4解，即F(x)=f(x)-m有4个零点，

m=0时，方程f(x)=m有5解，即F(x)=f(x)-m有5个零点，

m∈(0，1/4)时，方程f(x)=m有4解，即F(x)=f(x)-m有4个零点，

m=1/4时，方程f(x)=m有3解，即F(x)=f(x)-m有3个零点，

m∈(1/4，2)时，方程f(x)=m有2解，即F(x)=f(x)-m有2个零点，

m∈(2，+∞)时，方程f(x)=m有1解，即F(x)=f(x)-m有1个零点。

Answer 2

数形结合法。如图。

F(x)=f(x)-m的图象可以经过f(x)的图象上下平移得到。

x>0时，抛物线弧f(x)=(x-1)(x-2)开口向上，对称轴x=3/2，顶点（3/2，-1/4）.

x=0时，恒有f(0)=0,即奇函数图象过原点。

所以，

m=0时，F(x)有5个零点；

-1/4<m<0, F(x)有4个零点；

m=-1/4, F(x)有3个零点；

-2<m<-1/4, F(x)有2个零点；

m≤-2, F(x)有1个零点；

同理，

0<m<1/4, F(x)有4个零点；

m=1/4, F(x)有3个零点；

1/4<m<2, F(x)有2个零点；

m≥2, F(x)有1个零点.

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