已知圆m:x2+(y-2)2=1 Q是x轴上的动点 QA QB分别切圆M于A B 两点 求动弦AB

Question

的中点P的轨迹方程

Answer 1

解：圆心M（0，2），AB中点G（r,s),切点（x,y)，Q(m,0)

x^2+(y-2)^2=1............（1)
MQ^2=MB^2+BQ^2
m^2+4=1+(x-m)^2+y^2
=4y-2mx-3+x^2+(y-2)^2=4y-2mx-2
整理：mx-2y+3=0..............（2)
（1），（2）连立：
(4+m^2)x^2-2mx-3=0
r=(x1+x2)/2=m/(m^2+4)........（3)
(4+m^2)y^2-4(3+m^2)y+3m^3+9=0
s=2(3+m^2)/(m^2+4)............（4)
（3),（4)连立消掉参数m:
r^2+s^2-7s/2+3=0
所以AB中点轨迹方程：
x^2+y^2-7y/2+3=0追问

为什么 MQ^2=MB^2+BQ^2

追答

 QB是圆M的切线

三角形MBQ是直角三角形

所以MQ^2=MB^2+BQ^2