当x趋近于0时,e的1/x次方的极限

如题所述

1、摘要:数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题, 本文通过归纳和总结, 从不同 的方面罗列了它的几种求法.

关键词:高等数学、数列极限、定义、洛比达法则、

英文题目Limit methods summarize

Abstract:

The method of sequence limit has been in the series a more important problems, this paper summed up from different aspects and a few of its listing is also given.

Key words:

Higher mathematics, sequence limit, definition, los than amounting to law,

一. 引言

高等数学第二章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位 , 特别是极限,原因就是后续章节本质上都是极限。一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话,那么极限就是它的根,函数就是它的皮。树没有根,活不下去, 没有皮,只能枯萎,可见极限的重要性。

极限一直是数学分析中的一个重点内容,而对数列极限的求法可谓是多种多样,通过归纳和总结,我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法 还是利用数列极限的定义,也要注意运用两个重要极限,其中,可以利用等量代 换, 展开、约分,三角代换等方法化成比较好求的数列,也可以利用数列极限的 四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理,在求的时候要 重点注意运用。泰勒公式、 洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常

3 (2) e x x

x =+→10) 1(lim ; e x x =+∞→) 11(l i m 说明:( 1 )不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式.

(2)一定注意两个重要极限成立的条件。 一定注意两个重要极限 成立的条件。 例如:133sin lim 0=→x x x ,e x x x =--→210) 21(lim ,e x

x =+∞→3) 1(lim ;等等。 4.洛比达法则

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。

定理3 当0→x 时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有:

x ~x sin ~x tan ~x arcsin ~x arctan ~) 1ln(x +~1-x e 。 说明:当上面每个函数中的自变量x 换成) (x g 时(0) (→x g ),仍有上

面的等价

关系成立,例如:当0→x 时, 13-x e ~ x 3 ;) 1ln(2x - ~ 2x -。 定理4 如果函数) (), (), (), (11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小,且) (x f ~) (1x f ,) (x g ~) (1x g ,则当)

() (lim 110x g x f x x →存在时,) () (lim 0x g x f x x →也存在且等于) (x f ) () (lim 110x g x f x x →,即) () (lim 0x g x f x x →=)

() (lim 110x g x f x x →。 5.洛比达法则

定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值(或无穷大)时,函数) (x f 和)

(x g 满足:(1)) (x f 和) (x g 的极限都是0或都是无穷大;

4 (2)) (x f 和) (x g 都可导,且) (x g 的导数不为0;

(3))

() (lim x g x f ''存在(或是无穷大); 则极限) () (lim x g x f 也一定存在,且等于)

() (lim x g x f '',即) () (l i m x g x f =) () (lim x g x f '' 。 说明:定理5称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否

满足,只要有一条不满足,洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足,即验证所求极限是否为“00”型或“∞

∞”型;条件(2)一般都满足,而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外,洛比达法则可以连续使用,但每次使用之前都需要注意条件。

6.连续性

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果0x 是函数

) (x f 的定义去间内的一点,则有) () (lim 00x f x f x x =→ 。 7.极限存在准则

定理7(准则1) 单调有界数列必有极限。

定理8(准则2) 已知}{, }{, }{n n n z y x 为三个数列,且满足:

(1) ) , 3, 2, 1(, =≤≤n z x y n n n

(2) a y n n =∞→lim ,a z n n =∞

→lim 则极限∞→n n x lim 一定存在,且极限值也是a ,即a x n n =∞

→lim 。 二、求极限方法举例

1. 利用函数的连续性(定理6)求极限

5 例4 x x e x 122

lim → 解:因为20=x 是函数x

e x x f 12) (=的一个连续点,

所以 原式=e e 42212= 。

2. 利用两个重要极限求极限

例5 203cos 1lim x x x -→ 解:原式=61) 2(12sin 2lim 3sin 2lim 22

022

0=⋅=→→x x x x x x 。 注:本题也可以用洛比达法则。

例6 x x x 20

) sin 31(lim -→ 解:原式=6sin 6sin 310sin 610]) sin 31[(lim ) sin 31(lim ---→-⋅→=-=-e x x x x x x x 。

例7 n n n n ) 1

2(lim +-∞→ 解:原式=3331331]) 131[(lim ) 131(lim ---+∞→-⋅-+∞→=+-+=+-+e n n n

n n n

n n 。 注:两个重要的极限分别为 limsin x 1 2 = 1 和 lim (1 + ) x = e ,对第一个而言是 x →0 x →∞ x xX 趋近 0 时候的 sinx 与 x 比值。第2 个实际上如果 x 趋近无穷大和无穷小都有 对有对应的形式。当底数是 1 的时候要特别注意可能是用第2 个重要极限。

3. 利用定理2求极限

6 例8 x

x x 1sin lim 20→ 解:原式=0 (定理2的结果)。

4. 利用等价无穷小代换(定理4)求极限

这种方法的理论基础主要包括:(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时,分子与分母都可用等价无穷小代替). [3]

设αα'~、~ββ'且lim lim ββαα

'=;则:β与α是等价无穷小的充分必要条件为:0() βαα=+.

常用等价无穷小:当变量0x →时,

21sin ~, tan ~,arcsin ~,arctan ~, 1~,ln(1) ~,1cos ~, 2x x x x x x x x x e x x x x x -+

-~,(1) 1~x x x αα+-.

例1 求01cos lim arctan x x x x

→-. 解 210,1cos ~,arctan ~2

x x x x x →- 时, 故,原式22011lim 2

x x x →== 例2 求1230(1) 1lim cos 1

x x x →+--. 解 1

2223110,(1) 1~,1cos ~32

x x x x x →+-- 时, 因此: 原式20212lim 32

x x x →==-. 例3 求

01lim tan x x

→. 解 0, x →

时11~, tan ~3x x x ,故:原式=011lim 3

x x x →=.

7 例4 求()201lim 2ln(1) x x e x x →-+.

解 0, 1~,ln(1) ~x x e x x x →-+时, 故: 原式2201lim 22

x x x →==. 例5 试确定常数a 与n ,使得当0x →时,n

ax 与33ln(1) x x -+为等价无穷小. 解 330ln(1) lim 1n x x x ax →-+= 而左边22531100333lim lim n n x x x x x nax nax

--→→-+-=, 故 15n -=即6n = 0331lim 11662

x a a a →--∴=∴=∴=-. 5. 利用洛比达法则求极限

利用这一法则的前提是:函数的导数要存在;为0比0型或者∞∞

型等未定式类型. 洛必达法则分为3种情况:(1)0比0,无穷比无穷的时候直接用. (2)0乘以无穷,无穷减去无穷(无穷大与无穷小成倒数关系时)通常无穷大都写成无穷小的倒数形式, 通项之后,就能变成(1)中形式了. (3)0的0次方,1的无穷次方,无穷的0次方,对于(指数, 幂函数)形式的方法主要是取指数的方法,这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了,就是写成0与无穷的形式了.

洛必达法则中还有一个定理:当x a →时,函数() f x 及() F x 都趋于0;在点a 的某去心邻域内,() f x ﹑() F x 的导数都存在且() F x 的导数不等于0;() lim ()

x a f x F x →''存在,那么() () lim lim () ()

x a x a f x f x F x F x →→'=' . [1] 求极限有很多种方法如洛必达法则,夹逼定理求极限的秘诀是:强行代入,先定型后定法. [3] 例12 2

03cos 1lim x x x -→(例4) 解:原式=616sin lim 0

=→x x x 。(最后一步用到了重要极限)

8 例13 1

cos lim 1-→x x

x π 解:原式=21sin lim 1

πππ

-=-→x

x 。 例14 3

0sin lim x x x x -→ 解:原式=20

3cos 1lim x x x -→=616sin lim 0=→x x x 。(连续用洛比达法则,最后用重要极限)

例15 x

x x x x x sin cos sin lim 20

-→ 解: 313sin lim 3) sin (coscos lim cos sin lim 202

020==--=⋅-=→→→x

x x x x x x x x x x x x x x x 原式 例18 ])

1ln(11[lim 0x x x +-→ 解:错误解法:原式=0]11[lim 0=-→x

x x 。 正确解法:

。原式2

1) 1(2lim 211lim ) 1ln(lim ) 1ln() 1ln(lim 000

0=+=-=⋅-+=+-+=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 应该注意,洛比达法则并不是总可以用,如下例。 例19 x x x x x cos 3sin 2lim +-∞

10

例21 ) 1211

1(lim 2

2

2

n n n n n ++

+++

+∞

解: 易见:1

12

11

1

2

2

22

2

+<

++++++<

+n n n

n n n n

n n

因为 1lim 2

=+∞

→n

n n n ,11

lim

2

=+∞

→n n n

所以由准则2得:1) 12

1

1

1(lim 2

2

2

=++

+++

+∞

→n

n n n n 。

7. 直接使用求导的定义求极限

当题目中告诉你0) 0(=F 时,) (x F 的导数等于0的时候,就是暗示你一定要用导数定义: (1)设函数()y f x =在点0x 的某个领域内有定义,当自变量x 在0x 处取得增量x ∆(点

0x x ∆+仍在该领域内)时,相应的函数取得增量()()00y f x x f x ∆=∆+-;如果y ∆与x ∆之

比0x ∆→时的极限存在,则称函数()y f x =在点0x 处可导,并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处可导,并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处的导数,记作()0f x ',即

()()()00000lim

lim x x f x x f x y

f x x x

∆→∆→∆+-∆'==∆∆;

(2)在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等. 例36 ()()()()1f x x x e x π=---,求()'

f

π.

解 ()'

f

π ()()

()()()()=lim

lim 11x x f x f x x e x x e x π

πππ

→→-=--=---. 例37 若函数()f x 有连续二阶导数且()0=0f ,()'

0=1f

,()'' 0=-2f ,

则 ()()2

0lim

x f x x

x →-=.

A:不存在 B:0 C:-1 D:-2

解 ()20lim x f x x x →-=()()()' ' ' 00101lim lim 220

x x f x f x f x x →→--=-()''

1012f ==-. 所以,答案为D.

11 例38 若() (1)(2) .....(2010) f x x x x x =++++,求(0)f '.

解 0() (0)(0)lim

x f x f f x

→-'= 0(1)(2) .....(2010) lim x x x x x x →++++= 0

lim (1)(2) .....(2010) x x x x x →=++++ 2010! =.

8. 求数列极限的时候可以将其转化为定积分[1]

例33 已知(

)f x = ,在区间[]0,1上求()01lim n

i i

i f x λξ→=∆∑(其中将[]0,1分为n 个小区间[]1, i i x x -, 1i i i x x ξ-≤≤,λ为i x ∆中的最大值).

解 由已知得: ()()1

001lim n i i i f x f x dx λξ→=∆=∑⎰

dx =⎰ 4π

= .

(注释:由已知可以清楚的知道,该极限的求解可以转化为定积分, 求函数()f x 在区间[]0,1上的面积).

在有的极限的计算中,需要利用到如下的一些结论、概念和方法:

(1)定积分中值定理:如果函数()f x 在积分区间[], a b 上连续,则在[], a b 上至少有一个点,使下列公式成立:()()()b a f x dx x b a ϕ=-⎰ ()a b ϕ≤≤;

(2)设函数()f x 在区间[], a +∞上连续,取t a >,如果极限 ()lim

t a t f x dx →+∞⎰存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间[], a +∞上的反常积分,记作⎰∞

+0) (dx x f ,即

⎰⎰+∞→∞

+=t

a t a dx x f dx x f ) (lim ) (; 设()f x 在区间[], a b 上连续且()0f x ≥,求以曲线()y f x =为曲线,底为[], a b 的曲边梯形的面积A ,把这个面积A 表示为定积分:()b

=a A f x dx ⎰ 的步骤是: 首先,用任意一组的点把区间[], a b 分成长度为(1,2,... ) i x i n ∆=的n 个小区间,相应地把曲

12

线梯形分成n 个窄曲边梯形,第i 个窄曲边梯形的面积设为i A ∆,于是有1

n

i

i A A ==

∆∑;

其次,计算i A ∆的近似值 ()()1i i i i i i A f x x x ϕϕ-∆≈∆≤≤;

然后,求和,得A 的近似值 ()1

n

i

i

i A f x ϕ=≈

∆∑;

最后,求极限,得⎰∑=∆==→b

a

i n

i i dx x f x f A ) () (lim

1

ϕλ.

例34 设函数()f x 连续,且()00f ≠,求极限 ()()()[]2

lim

. x x

x x t f t dt x f x t dt

→--⎰⎰. 解 ()()()00

0lim

x

x

x x t f t dt

x f x t dt

→--⎰⎰ =()()()0

lim

, x

x

x

x xf t dt tf t dt

x f u du

→-⎰

⎰⎰

()()()()()0

+lim

x

x x f t dt xf x xf x f u du xf x →-+⎰⎰由洛必达得:,

()()(

)

, , ,

f x t dx u x t f u du -=-⎰x

其中令得

()()0

lim

0x x xf xf xf x ϕφϕ→+再由积分中值定理得:在到之间

()()0

01lim

002

x f f f f x f f ϕϕ→===

++.

例35 计算反常积分: 21dx x +∞

-∞+⎰.

21dx x +∞

-∞+⎰ =[]arctan x +∞

-∞=-lim arctan lim arctan x x x x →+∞→∞-=() 22

πππ--=. 9. 用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限

利用如下的极限运算法则来求极限: (1)如果()()lim ,lim , f x A g x B ==

那么B A x g x f x g x f ±=±=±) (lim ) (lim )]() (lim[

13 ()()()()lim lim lim f x g x f x g x A B ⋅=⋅=⋅⎡⎤⎣⎦ 若又有0≠B ,则B A

x g x

f x g x f ==) (lim )

(lim ) () (lim

(2)如果) (lim x f 存在,而c 为常数,则) (lim )](lim[x f c x cf =

(3)如果) (lim x f 存在,而n 为正整数,则n n x f x f )]([lim)](lim[=

(4)如果) () (x x ϕδ≥,而b x a x ==) (lim , ) (lim ϕδ,则b a ≥

(5)设有数列{}n x 和{}n y ,如果()lim ; n n n x y A B →∞+=+ 那么,()lim ; n n n x y A B →∞+=+lim n n n x y A B →∞=⋅ 当()01,2,... n y n ≠=且0b ≠时,lim n n n x A

y B

→∞=

例1 12

1lim 1--+→x x x

解:原式=43) 21)(1(33lim ) 213)(1(2) 13(lim 12

21=++--=++--+→→x x x x x x x x 。

注:本题也可以用洛比达法则。

例2 ) 12(lim --+∞→n n n n

解:原式=2

3

1

23

lim 12)]1() 2[(lim =-++=-++--+∞→∞→n

n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n

n n 323) 1(lim ++-∞→ 解:原式11

) 32

(1

) 1(lim 3=++-=∞→n n n n

上下同除以 。 三,极限运算思维的培养

14 极限运算考察的是一种基本能力,所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养,一方面要立足概念,另一方面则需要在具体的运算中体会,多做题多总结。

四. 结束语

上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结,由此可以看出,求极限方法灵活多样,而且许多题目不只用到一种方法,因此,要想熟练掌握各种方法,必须多做练习,在练习中体会。另外,求极限还有其它一些方法,如用定积分求极限等,由于平时练习中不经常使用,这里不作一一介绍了。

[参 考 文 献]

[1] 同济大学应用数学系 高等数学 1997

[2] 吉米多维奇. 数学分析[M].济南:山东科技文献出版社1995.

[3] 陈纪修, 等. 数学分析[M].北京:高等教育出版社,1999.

[4] 同济大学应用数学组. 高等数学[M].北京:高等教育出版社,1996. 第3期张宏达:高

等数学中求极限的常用方法

41? 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.

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第1个回答  2021-07-21

右趋于零的时候1/x为正无穷大 则右极限的值为无穷大。

x趋于0+时,

1/x趋于正无穷

那么e的1/x次方趋于正无穷

而x趋于0-时,1/x趋于负无穷

故e的1/x趋于0

左右极限不相等,那么极限值不存在

例如:

f ' (x)=e的x分之一次方

左趋于零的时候1/x为负无穷大 则左极限的值为0

右趋于零的时候1/x为正无穷大 则右极限的值为无穷大

无穷大的性质:

集合论中对无穷有不同的定义。德国数学家康托尔提出,对应于不同无穷集合的元素的个数(基数),有不同的“无穷”。两个无穷大量之和不一定是无穷大,有界量与无穷大量的乘积不一定是无穷大(如常数0就算是有界函数),有限个无穷大量之积一定是无穷大。

两个无穷大量之和不一定是无穷大;有界量与无穷大量的乘积不一定是无穷大(如常数0就算是有界函数);

有限个无穷大量之积一定是无穷大。另外,一个数列不是无穷大量,不代表它就是有界的(如,数列1,1/2,3,1/3,……)。

以上内容参考:百度百科-无穷大

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第2个回答  2020-11-01

x趋于0+时,

1/x趋于正无穷

那么e的1/x次方趋于正无穷

而x趋于0-时,1/x趋于负无穷

故e的1/x趋于0

左右极限不相等,那么极限值不存在

例如:

f ' (x)=e的x分之一次方

左趋于零的时候1/x为负无穷大 则左极限的值为0

右趋于零的时候1/x为正无穷大 则右极限的值为无穷大

扩展资料:

设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义(或|x|大于某一正数时有定义)。如果对于任意给定的正数M(无论它多么大),总存在正数δ(或正数X),只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X,即x趋于无穷),对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M,则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。

在自变量的同一变化过程中,无穷大与无穷小具有倒数关系,即当x→a时f(x)为无穷大,则1/f(x)为无穷小;反之,f(x)为无穷小,且f(x)在a的某一去心邻域内恒不为0时,1/f(x)才为无穷大。

参考资料来源:百度百科-无穷大

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第3个回答  推荐于2017-11-23
x趋于0+时,
1/x趋于正无穷
那么e的1/x次方趋于正无穷
而x趋于0-时,1/x趋于负无穷
故e的1/x趋于0
左右极限不相等,那么极限值不存在本回答被提问者和网友采纳
第4个回答  2018-04-14
x趋于0+时
1/x趋于正无穷
那么e的1/x趋于正无穷
x趋于0-时,1/x趋于负无穷
那么e^1/x趋于0
左右极限不相等
所以极限值不存在
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