已知y=f’(x)为R上的可导函数,当X不等于0时,f'(x)+f(x)/x>0,则关于X的函数g

(x)=f(

第1个回答 2014-01-09

首先g(x)中显然要求了x不能为0
因而 g(x)的零点跟 xg(x)的非零零点是完全一样的
我们考虑 xg(x) = xf(x)+1 的零点
(0,+无穷)上, (xg(x))'= (xf(x))' = xf'(x)+f(x) = x( f'(x)+f(x)/x ) >0 （根据已知以及x>0）
所以在正半轴上，xg(x)单调递增，注意xg(x)=xf(x)+1只是对x>0的定义域的值。
现在考虑xg(x)在0处的右极限，显然这个是xg(x)在正半轴的下确界。
由于f(x) R上可导，所以 f(x)在0处连续，所以 lim(x趋向0+) xf(x)+1 = 1，因此xg(x)在正半轴的下确界是1，因此(0,+无穷)上没有g(x)的零点

下面考虑负半轴。
x<0所以 (xg(x))' = x( f'(x)+f(x)/x) <0 xg(x)在负半轴是递减。
同理，xg(x)在负半轴的下确界其实就是其在0的左极限，显然也是1。因此xg(x)>= 1 当x不等于0时
所以g(x)>0 当x不等于0时。也就是说g(x)根本没有零点

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