已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时， f′(x)+ f(x) x ＞0 ，则关于x的函数 g(x)=f(x)+

Question

已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时， f′(x)+ f(x) x ＞0 ，则关于x的函数 g(x)=f(x)+ 1 x 的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．0 D．0或 2

Answer 1

由于函数 g(x)=f(x)+ 1 x ，可得x≠0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的， 故我们考虑 xg（x）=xf（x）+1 的零点． 由于当x≠0时， f′(x)+ f(x) x ＞0 ， ①当x＞0时，（x?g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（ f′（x）+ f(x) x ）＞0，  所以，在（0，+∞）上，函数x?g（x）单调递增函数． 又∵ lim x→0 [xf（x）+1]=1，∴在（0，+∞）上，函数 x?g（x）=xf（x）+1＞1恒成立， 因此，在（0，+∞）上，函数 x?g（x）=xf（x）+1 没有零点． ②当x＜0时，由于（x?g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（ f′（x）+ f(x) x ）＜0， 故函数 x?g（x）在（-∞，0）上是递减函数，函数 x?g（x）=xf（x）+1＞1恒成立， 故函数 x?g（x）在（-∞，0）上无零点． 综上可得，函 g(x)=f(x)+ 1 x 在R上的零点个数为0， 故选C．