已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，f′(x)+f(x)x＞0，则关于x的函数g(x)＝f(x)+1x的零点个数为（

Question

已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，f′(x)+f(x)x＞0，则关于x的函数g(x)＝f(x)+1x的零点个数为（　　）A．1B．2C．0D．0或2

Answer 1

由于函数g(x)＝f(x)+

1

x

，可得x≠0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的，
故我们考虑 xg（x）=xf（x）+1 的零点．
由于当x≠0时，f′(x)+

f(x)

x

＞0，
①当x＞0时，（x?g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（ f′（x）+

f(x)

x

）＞0，
 所以，在（0，+∞）上，函数x?g（x）单调递增函数．
又∵

lim

x→0

[xf（x）+1]=1，∴在（0，+∞）上，函数 x?g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，
因此，在（0，+∞）上，函数 x?g（x）=xf（x）+1 没有零点．
②当x＜0时，由于（x?g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（ f′（x）+

f(x)

x

）＜0，
故函数 x?g（x）在（-∞，0）上是递减函数，函数 x?g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，
故函数 x?g（x）在（-∞，0）上无零点．
综上可得，函g(x)＝f(x)+

1

x

在R上的零点个数为0，
故选C．