证明sin(1/x)在(0,1)上不一致连续，但在(a,1)上一致连续

如题所述

推荐答案 2012-11-08

1、取e0=1，两个点列xn=1/(2npi)和yn=1/(2npi+pi/2)，n=1,2,3，...，显然
|xn-yn|<1/n是趋于0的，当n趋于无穷时，但
|f(xn)-f(yn)|=1不趋于0，因此f(x)=sin(1/x)不一致连续。
2、a>0。f(x)=sin(1/x)在[a，1]上是连续函数，则必一致连续，故
在(a，1)上也一致连续。
如果用定义证明：
|f(x)-f(y)|=|2sin[(1/x-1/y)/2]cos[(1/x+1/y)/2]|
<=|1/x-1/y|=|x-y|/xy
<=|x-y|/a^2，
因此对任意的e>0，取d=a^2e，则当|x-y|<d时，
必有|f(x)-f(y)|<e。由定义是一致连续的。来自：求助得到的回答

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