设lql<1,证明等比数列1,q,q^2,...lql^(n-1）,...的极限是0

Question

以下是书上的解题步骤
证：任意给定E>0（设E>1）
因为 lxn-0l=lq^(n-1)-0l=lql^(n-1),
要使lxn-0l<E,只要lql^(n-1)<E
取自然对数，得(n-1)ln lql<lnE,因lql<1,ln lql<0,
故n>1+lnE/ln lql,这步看不明白，为什么n>1+lnE/ln lql，E不也是<1的吗，换过来不应该是n<1+lnE/ln lql的吗，求高人指点

Answer 1

E是小于1的，不是大于1，极限定义中E必须能做到任意小，因此lnE<0；
另外，因为|q|<1，ln|q|<0，在不等式(n－1)ln|q|<lnE两边同除以
ln|q|(负数），不等号要反向，因此是
n－1>lnE/ln|q|，故
n>1+lnE/ln|q|。追问

E一定要小于1吗，我看有的书上没有交代要小于1，为什么，求解？

追答

不是一定要小于1，但如果不等式|an--a|<e对小于1的e成立，
当然对大于1的e成立了，因此在大多数情况下，很多题都是
默认e小于某个正数，比如1或者1/2的。严格来说是需要写上
e<1的。本题就是严格的写了出来。
其实你仔细看看极限的定义就知道，要想做到极限存在，
e必然是充分小的，而不能很大；或者说，不等式必须要求
对充分小的e成立才行，而不能只对某些比较大的e成立就可以了。