设n阶方阵A不为0。证明有一个n阶非零矩阵B使AB=0的充要条件是|B|=0

如题所述

推荐答案 2012-10-29

将A的按列分块，得A=（a1，a2，...,an）因B非零从而至少存在一列不为0，不妨设为b=（b1,b2,...bn）的转置，按分块矩阵乘法拆开就有Ab=0=b1a1+b2a2+...+bnan 由于b1到bn中至少有一个不为零，从而对于向量组{an}来说存在系数不全为零但线性组合为零这就说明A的列向量组线性相关。

另一方面将AB=0两边取转置得B转置A转置=0，从而同样利用上面的分析方法得到B转置的列向量线性相关，从而B的行向量线性相关。
既然B的行向量线性相关，那么b的行列式必然为零。

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第1个回答 2012-10-23

B是方程AX=0的非零解，故充要条件是|A|=0本回答被提问者采纳

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