设A是n阶方阵，A≠0.，则存在一个非零矩阵B，使得AB＝0的充要条件是│A│＝0

如题所述

第1个回答 2010-10-31

如果 |A| = 0, 所以 0 为A的特征根。所以存在 n*1 向量 x≠0使得 Ax = 0, 让B = (x, x,...,x),即n个x构成的n*n 阵。则 AB = 0, 且 B≠0。

如果存在一个非零矩阵B，使得AB＝0，设 B=（x1,...,xn）,其中 xi 都为列向量。AB=0 ==> Axi = 0. 因为 B≠0，必有一个 xi≠0. 所以 0 为A的特征根。所以 |A| = 0.本回答被网友采纳

第2个回答 2010-10-31

必要性：对AB=0两边取行列式，即│AB│=│A││B│=0，
因B为非零矩阵，故│B│不等于零，
所以，│A│=0
充分性：假设AB=C，对AB=C两边取行列式，即│AB│=│A││B│=│C│，
因为│A│=0，故│C│=0，即│AB│=│A││B│=0，所以存在非零矩阵B，使得AB=0

第3个回答 2010-10-30

│B│≠0

相似回答

A是n阶矩阵,且A≠0.证明:存在一个n阶非零矩阵B,使AB=0的充分必要条件是...答：）（反证法）反设|A|≠0，则：A-1存在．所以当AB=0时，二边右乘A-1得：B=0，与存在一个n阶非零矩阵B，使AB=0矛盾．所以|A|=0．“充分性”（?）设|A|=0，则方程组Ax=0有非零解：x=（b1，b2，…bn）．构造矩阵：B＝b10…0b20…0………bn0…0则B≠0，且AB=0．证毕．

...一个n阶矩阵。试证:存在一个n阶非零矩阵B,使得AB=O的充分必要条件是...答：所以 |A| = 0.充分性:由|A|=0知AX=0有非零解b1.令B=(b1,0,0,...,0) --除第1列其余都是0的矩阵则有 AB=0 且 B 是非零矩阵.

设n阶矩阵A≠0,试证存在一个非零n阶矩阵B,使AB=0的充要条件R(A)答：因为 AB=0 所以 B的列向量都是 Ax=0 的解由于B≠0 所以 Ax=0 有非零解所以 r(A)

A.B是n阶方阵,且都是非零矩阵,使AB=0,则其充要条件是什么?答：AB=0 |AB|=0 |A|*|B|=0 |A|=0 或 |B|=0

...使n阶方阵,A不等于O,则存在一个非零矩阵B,使得AB=O的充要条件为A的...答：证明: 必要性.因为 存在一个非零矩阵B，使得AB=O 所以 B的列向量都是 AX=0 的解向量所以AX=0有非零解所以 |A| = 0.充分性.因为 |A| = 0, 所以 AX=0 有非零解 b1,...,bs 令 B=(b1,...,bs)则有 AB = 0.

设A是n阶矩阵,且A≠0,若存在n阶非零矩阵B,使得AB=0,求证:|A|=0答：“矩阵≠0”和“非零矩阵”一样!由A≠0, B≠0 得 r(A)>=1, r(B)>=1 由AB=0, 得 r(A)+r(B)<=n 所以 r(A)<= n-r(B) <= n-1 所以 |A|=0.

大家正在搜

a是n阶方阵且|A|=2 设a为n阶方阵,且a^2=a 设n阶方阵a不可逆则必有 A是n阶方阵若n阶方阵a的值小于n n阶方阵的性质设n阶方阵a 设n阶方阵a满足 n阶方阵不可逆则必有