设数列 an满足条件 a1=1 a2=2 且an+2=an+1+an 求证 对于任何正整数 都有 an+1的n次方大于等于1+1/an的n次方

Question

如题所述

Answer 1

[a(n+1)]^n≥(1+1/a)^n

因为a(n+2)=a(n+1)+an
所以a(n+2)-a(n+1)=an>0
那么数列{an}是单调递增的正数数列
所以要证明[a(n+1)]^n≥(1+1/a)^n，只需证明a(n+1)≥1+1/an
当n=1时，a2=2，1+1/a1=1+1=2，2≥2，不等式成立；
假设当n=k(k≥2)时，不等式成立，即有：a(k+1)≥1+1/ak
那么当n=k+1时，a(k+2)=a(k+1)+ak≥1+1/ak+ak
而因为a(k+1)>ak>0，所以1/ak>1/a(k+1)
那么1+1/ak+ak>1+1/a(k+1)+ak>1+1/a(k+1)
即a(k+2)≥1+1/a(k+1)，即当n=k+1时，不等式也成立
所以，a(n+1)≥1+1/an对任意n∈N+都成立
那么[a(n+1)]^n≥(1+1/an)^n

Answer 2

An单调增，1/An单调减，所以看第一次比较
A2=2 ，1+1/A1=2
所以第一次相等，以后的都大于