证明f(x)=‖x‖在x=0处连续，但是不可导

Question

证明f(x)=x的绝对值在x=0处连续，但是不可导

Answer 1

由连续的定义，如果limf(x)(其中x→0+)和limf(x)(其中x→0-)相等，而且都等于f（0），那么函数在0点连续
证明如下：
f（x）可以写成分段函数
x x>0
0 x=0
-x x<0

所以在零点的左右极限相等，都为0，等于f(0),所以函数在0点连续

下面证明可导性，根据导数定义
lim(f(x)-f(0))/x 【x→0+】此为右导数
=lim(x-0)/x = lim 1 = 1

lim(f(x)-f(0))/x 【x→0-】此为左导数
=lim(-x-0)/x = lim -1 = -1

左导数不等于右导数，所以0点不可导，证毕

Answer 2

函数x0处可导的条件是
lim
△x→0
f(x0+△x)-f(x0)/△x
存在
当f(x)≥0时
|f(x)|就是f(x)
此时在f(x)
x0处可导
当f(x)<0时
|f(x)|是-f(x)
现在只需证明
若-f(x)在x0可导
则f(x)在x0也可导
设g(x)
=-f(x)
由可导的条件知
lim
△x→0
g(x0+△x)-g(x0)/△x
存在
设lim
△x→0
g(x0+△x)-g(x0)/△x=c
即lim
△x→0
-f(x0+△x)+f(x0)/△x=-lim
△x→0
f(x0+△x)-f(x0)/△x=c
所以lim
△x→0
f(x0+△x)-f(x0)/△x=-c
即lim
△x→0
f(x0+△x)-f(x0)/△x存在
而f(x)可导的条件就是lim
△x→0
f(x0+△x)-f(x0)/△x
存在
所以f(x)连续，|f(x)|在x0处可导，则f(x)在x0处可导

Answer 3

由连续的定义，如果limf(x)(其中x→0+)和limf(x)(其中x→0-)相等，而且都等于f（0），那么函数在0点连续
证明如下：
f（x）可以写成分段函数
x
x>0
0
x=0
-x
x<0
所以在零点的左右极限相等，都为0，等于f(0),所以函数在0点连续
下面证明可导性，根据导数定义
lim(f(x)-f(0))/x
【x→0+】此为右导数
=lim(x-0)/x
=
lim
1
=
1
lim(f(x)-f(0))/x
【x→0-】此为左导数
=lim(-x-0)/x
=
lim
-1
=
-1
左导数不等于右导数，所以0点不可导，证毕

Answer 4

由连续的定义，如果limf(x)(其中x→0+)和limf(x)(其中x→0-)相等，而且都等于f(0)，那么函数在0点连续
证明如下:
f(x)可以写成分段函数
x
x>0
0
x=0
-x
x<0
所以在零点的左右极限相等，都为0，等于f(0),所以函数在0点连续
下面证明可导性，根据导数定义
lim(f(x)-f(0))/x
【x→0+】此为右导数
=lim(x-0)/x
=
lim
1
=
1
lim(f(x)-f(0))/x
【x→0-】此为左导数
=lim(-x-0)/x
=
lim
-1
=
-1
左导数不等于右导数，所以0点不可导，证毕