高等数学中关于曲线积分与路径无关的一道考研题

Question

像我在下图里写的那种情况，就不能得到与路径无关的结论吧？是哪里出现问题了，请各位老师指教

Answer 1

依然是与路径无关：你可以绕M_0画一个非常小的圆C_2, 可以容易说明沿C_0的积分与沿C_2的积分相同，沿C的积分也与C_2相同。追问

你可以绕M_0画一个非常小的圆C_2, 可以容易说明沿C_0的积分与沿C_2的积分相同，沿C的积分也与C_2相同。
这个方法我知道，也比较经典。
但是图片中我说的那种情况，曲线c0和c围起来的区域中，包含了点m0，那么他俩的曲线积分不就不能用格林公式推导出两曲线积分相等，不就不能推导出与路径无关了？

追答

我的意思是将C_2看成是图10.10中的C_\epsilon, (C_0还是C_0), 然后用你图片中给出方法可以证明，C_2上的积分与C_0上的相同。然后，将C看成图片中的C_0, C_2看成C_\epsilon, 可以证明C上的积分与C_2上的相同。

追问

你说的这种情况我知道用格林公式可以证明C_2上的积分与C_0上的相同。
但是我在图片中画的那种情况（俩曲线有交点，俩曲线围起来的区域中包含奇点），能用格林公式吗？能用的话，是怎么算呢？不能用的话，那怎么推导C上的积分与C_0上的相同（我画的图的那两曲线）

追答

C_2很小，与C_0, C都没有交点，C_0与C上的积分都与C_2相同。

追问

我是说这种情况，c0的曲线积分等于0，怎么推导c的曲线积分与积分路径无关？

追答

我看不出这有什么区别。

追问

你就证一下我画的那个图，m0为奇点，区域D为非单连通区域，当cε的曲线积分等于0的时候，证明c的曲线在D上与路径无关

最好发一下演算图上来吧，我是真的不懂，苦恼。。。

Answer 2

的能力，去识别对自己有用的，和对自己没有用的，我想这样才能够挑拣出适合自己的东西。其实最后都是自己想通的。别人永远只能给你建议，基本把握。这么说抽象了一点。