证明:若函数f(x)在(a,+无穷)连续，且x趋于a+时limf(x)=A与X趋于正无穷时limf

Question

证明:若函数f(x)在(a,+无穷)连续，且x趋于a+时limf(x)=A与X趋于正无穷时limf(x)=B,则f(x)在(a,+无穷)有界

Answer 1

简证如下：
因为，x趋于a+时limf(x)=A，根据极限的局部有界性，则，
存在δ>0，当x∈（a，a+δ）时，f(x)有界，则，f(x)在（a，a+δ/2 ]有界M1★

同理，因为，X趋于正无穷时limf(x)=B，则，
存在 K>0，当x∈（K，+∞）时，f(x)有界，则，f(x)在 [ K+1，+∞）有界M2▲

因为，f(x)在(a，+∞)连续，所以，f(x)在闭区间 [a+δ/2，K+1 ] 连续，根据闭区间上连续必有界，则，f(x)在 [a+δ/2，K+1 ] 有界M3●

综上★▲●，取M=max{M1，M2，M3}，可得，f(x)在(a，+∞)有界M。证毕。