设X和Y是相互独立的随机变量,且服从区间(0,2)上的均匀分布,求Z=X/Y的概率密度

Question

用分布函数法求解f(x)=1/2,0<x<2f(y)=1/2,0<y<2f(x,y)=1/4,0<x<2,0<y<2F(z)=P(Z<=z)=P(X/Y<=z)当z<0时，F(z)=0当z>0时，F(z)=P(X/Y<=z)=P(Y>=X/z)当0<z<1时，F(z)=P(Y>=X/z)=1/4*∫【0,2z】（2-x/z)dx=z/2当z>1时，F(z)=P(Y>=X/z)=1/4*∫【0,2】（2-x/z)dx=1-1/(2z)求导得当0<z<1时，f(z)=1/2当z>1时，f(z)=1/(2z^2)当z<0时，f(z)=0
为什么要分0＜z＜1和z＞1呢？

Answer 1

因为两种情况的积分区间不同，如图所示：

                0<z<1                                                        z>1

Answer 2

楼主你好，你可以发现：把X/Y=Z转化为XY坐标系时是Y=X/Z这时，Z大于一是一条过原点的直线，Z小于一是一条曲线，这是两个不同的图形，你在2重积分时积分的上限是不同的，所以要把Z分类讨论，以后遇见这种题目时，一定要化为Y=F(X)的形式来做，再对新图形作二重积分，还有就是，这道题目的Y定位0到2之间，所以不考虑正负，但是如果题目没有给出Y的正负，你在把Z=X/Y转为Y=X/Z时要分类讨论，望采纳