求y平方=x与直线x=1所围成平面图形绕x轴旋转一周生成的旋转体体积

Question

如题所述

Answer 1

求由曲线y=x²,y=x+2围城的图形绕y轴旋转一周生成的旋转体的体积v直线y=x+2与y轴的交点的坐标为c(0,2)；令x²=x+2,得x²-x-2=(x+1)(x-2)=0,故得x₁=-1,x₂=2;即直线y=x+1与抛物线y=x²的交点为a(-1,1),b(2,4)；直线段cb绕y轴旋转一周所得旋转体是一个园锥,该园锥的底面半径=2,园锥高=2；其体积=(8/3)π；故所求旋转体的体积v=【0,4】∫πx²dy-(8/3)π=【0,2】π∫ydy-(8/3)π=(π/2)y²【0,4】-(8/3)π=8π-(8/3)π=(16/3)π

Answer 2

易知旋转体与x轴垂直的截面积为πx，
故V=∫(0,1)πxdx=
π*x^2/2|(0,1)=π/2