在数学中，要证明一个函数在闭区间上是连续的，我们可以使用连续性的定义和一些基本的定理。
首先，连续性的定义是：如果对于任意给定的实数ε>0，存在一个正实数δ>0，使得当x与x0的差的绝对值小于δ时，函数f(x)与f(x0)的差的绝对值也小于ε，那么我们称函数f(x)在点x0处连续。
根据这个定义，我们可以进行以下步骤来证明一个函数在闭区间上是连续的：
1.确定闭区间：首先，我们需要明确我们要证明的函数的定义域是一个闭区间[a,b]，其中a和b分别是区间的左右端点。
2.选择ε：选择一个任意小的正实数ε，表示我们希望函数的值在这个区间内的变化足够小。
3.计算δ：根据连续性的定义，我们需要找到一个正实数δ，使得当x与x0的差的绝对值小于δ时，函数f(x)与f(x0)的差的绝对值也小于ε。这可以通过取x0为区间的中点来实现。即，我们可以选择δ=(b-a)/2m，其中m是一个正整数。
4.验证δ：我们需要验证当x与x0的差的绝对值小于δ时，函数f(x)与f(x0)的差的绝对值是否小于ε。这可以通过计算f(x)和f(x0)的差的绝对值来实现。如果这个差的绝对值小于ε，那么我们就可以说函数在点x0处连续。
5.重复步骤3和4：为了证明函数在整个闭区间上都是连续的，我们需要重复步骤3和4，对于区间内的每个点x0都进行验证。
通过以上步骤，我们可以证明一个函数在闭区间上是连续的。需要注意的是，这只是证明函数在某个点处连续的方法，如果要证明函数在整个区间上都是连续的，需要对区间内的每个点都进行类似的验证。