函数在闭区间可导，那么其导函数在该闭区间是否连续？

Question

函数f(x)在[a,b]上可导，则其导函数f'(x)在[a,b]上一定连续吗？请证明。

Answer 1

　　是的，可导可以推出连续，但是连续不能推出可导。
　　如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。
　　函数可导定义：
　　（1）设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。
　　（2）若对于区间(a,b)上任意一点(m，f(m))均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。
　　连续（Continuity）的概念最早出现于数学分析，后被推广到点集拓扑中。
　　假设f:X->Y是一个拓扑空间之间的映射，如果f满足下面条件，就称f是连续的：对任何Y上的开集U, U在f下的原像f^(-1)(U)必是X上的开集。
　　若只考虑实变函数，那么要是对于一定区间上的任意一点，函数本身有定义，且其左极限与右极限均存在且相等，则称函数在这一区间上是连续的。
　　分为左连续和右连续。在区间每一点都连续的函数，叫做函数在该区间的连续函数。

Answer 2

我认为是的。
函数f(x)在[a,b]上可导→函数f(x)在[a,b]连续→f'(x)在[a,b]上无间断点（要么持续大于0，要么持续小于0，要么分段）→f'(x)在[a,b]上一定连续
反过来一样成立。
若函数f(x)在[a,b]上连续，则其原函数一定是可导的

Answer 3

当 0< |x| <= 1 时， f(x)= x^2 sin(1/x)
f(0) = 0

上面的在 [-1,1]上定义的f(x) 在[-1,1]上可导，但其导函数f'(x)在 x=0 处 不连续本回答被提问者采纳

Answer 4

不一定连续。
函数在闭区间可导，则该函数在此闭区间连续，导函数不一定连续。
要是这个函数n阶可导，可推求出他的n-1阶导函数连续。