高等数学，微分方程，求解释，求过程

Question

如题所述

Answer 1

解：
令： t = y[e^(-x)]，则函数t连续可导，因此：
t' = y'[e^(-x)] - [e^(-x)]y
=[e^(-x)]·(y' -y)
∴y' -y = t'·(e^x)
原微分方程为：
t'·(e^x) = x·t²· [e^(2x)]
因此：
t' = x·t²·[e^(x)]
当y≠0时：
t' / t² = x·[e^(x)]
即：
dt / t² = x·[e^(x)] dx
上式两边同时积分，则：
(-1)/t + C4 = (x-1)·[e^(x)] + C3
(-1)[e^(x)] / y = (x-1)·[e^(x)] + C2
因此：
e^(x) = y[(1-x)·e^(x) + C]
可以验证，y取不到零，因此：
原方程的通解为：
e^(x) = y[(1-x)·e^(x) + C]，其中C是常数

Answer 2

是贝努力方程， 令 z=y^(1-2)=1/y, 则 y=1/z, dy/dx=(-1/z^2)dz/dx,
原微分方程化为 (-1/z^2)dz/dx-1/z=x/z^2, 即 dz/dx+z=-x 是一阶线性微分方程，得
z=e^(-∫dx)[∫-xe^(∫dx)dx+C]= e^(-x)[∫-xe^xdx+C]
= e^(-x)[-xe^x+e^x+C] = -x+1+Ce^(-x).
则 y=1/z=1/[1-x+Ce^(-x)].