傅里叶级数与傅里叶变换异同点

Question

如题所述

Answer 1

一、相同点

傅里叶级数和傅里叶变换都源自于傅里叶原理得出；傅里叶变换是从傅里叶级数推演而来的，傅里叶级数是所有周期函数都可以分解成一系列的正交三角函数，这样，周期函数对应的傅里叶级数即是它的频谱函数。

二、不同点

1、本质不同

傅里叶变换是完全的频域分析，而傅里叶级数是周期信号的另一种时域的表达方式，也就是正交级数，它是不同的频率的波形的叠加。

2、适用范围不同

傅里叶级数适用于对周期性现象做数学上的分析，傅里叶变换可以看作傅里叶级数的极限形式，也可以看作是对周期现象进行数学上的分析，同时也适用于非周期性现象的分析。

3、周期性不同

傅里叶级数是一种周期变换，傅里叶变换是一种非周期变换。傅里叶级数是以三角函数为基对周期信号的无穷级数展开，如果把周期函数的周期取作无穷大，对傅里叶级数取极限即得到傅里叶变换。

参考资料来源：百度百科-福利叶级数

参考资料来源：百度百科-傅里叶变换

Answer 2

你好，这个怎么说呢 我研究过 傅立叶级数可以说是一对于一个周期性的函数而言的，然而当我们把周期看成无穷大时，那么离散的傅立叶级数也就成为了连续的傅立叶变换了，然后在利用哪个欧拉公式，将它变成了实数与复数的傅立叶变换了，这个是时域与频域的变换，这个变换大大的化简了在时域里面的运算，我们可以看到傅立叶变换的求导和积分都是在原来的基础上多了一个幅度的变化而已，F(ω)= e^iωt，连续形式的傅立叶变换其实是傅立叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。离散傅立叶变换是离散时间傅立叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅立叶级数的逆。对于周期函数，其傅立叶级数是存在的： 这是一个非常奇妙的变换，当是我学习是非常感兴趣，认为这种变换怎么可能，但是科学的永远是正确的，呵呵，但是也就那些模糊的假科学哈，最终被推翻了。呵呵，还有建议你多看看复变函数那本书，说实话真的很好，我当初认为复变不重要，后来学了信号处理方面的知识，才知道复变是多么多么的重要，兄弟加油哦，呵呵 很高心为你帮忙，希望对你又用。。。。本回答被提问者采纳

Answer 3

首先一个信号，比如X(t)是一个奇形怪状的函数。我们很难对他进行分析。
但是X(t)=很多有规律的函数叠加。。。
于是我们就寻找这些有规律的函数来代表X(t)，这就是对X(t)进行分解。
分解有很多种类，其中非常牛b的一种是正交分解。
三角函数族恰好就是一个正交函数族。周期为T 2T 3T...nT的三角函数能够通过叠加组合出所有周期为T的连续函数。就是说X(t)=a1*基1+a2*基2....＋an*基n (其中基n是周期为T/n的三角函数...)。为什么会这样呢？数学分析上是使用：黎曼勒贝格引理+局部收敛+狄里赫雷核积分推出的。泛函上证明要简洁些。不过这些你都不需要太过于专注（就连傅立叶都没有证明出来的），你只需要记住周期nT三角函数叠加能表示周期为T的连续函数。
X(t)=a1*基1+a2*基2....＋an*基n。那么前面的系数ai怎么求呢，这时函数正交的作用就体现出来了。直接用(x,基n)内积 ，就可以得出系数an。至于为什么，你可以自己算下，利用(基i，基j)=δij就可推出结果。
当X(t)没有明确的周期的时候，我们假定他的周期是无穷大，再用复数来表示各个正交基，在系数上乘以T(这时的T是无穷大，如果不乘以T的话，L1L2空间的函数的傅立叶变变换就是无穷小了)，这样就成了傅立叶变换了。傅立叶变换难很多。因为傅立叶变换的定义域大大超过了L1L2空间。有些函数广义积分不存在，但是傅立叶变换存在。所以在处理这些积分的时候，必须要利用某些特殊函数的性质，比如冲击函数，阶跃函数等，进行反向的推导。