设两个随机变量X,Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X-Y|的期望。

Question

如题所述

Answer 1

先算出x,y的联合概率密度函数，因为是独立的所以，f(x,y)=f(x)*f(y)
然后设g(x,y)=|x-y|,当x>y,g(x,y)=x-y,当x<y,g(x,y)=y-x
然后进行分段的二重积分，
然后拆开再进行积分。
中间有一个比较关键的地方是对e的负的X平方积分，积分区间是（y，正无穷），这个答案是根号下π/2，
最后可得答案为根号下2/π

Answer 2

V=X-Y
X,Y独立，所以EV=EX-EY=0 Var(V)=Var(X)+Var(-Y)=1
所以V=X-Y~N(0,1) 所以V的密度函数是f(v)=1/√2π*e^(-v^2/2)
那么U=|V|
F(u)=P(U<=u)=P(|V|<=u)=P(-u<=V<=u)=2P(V<=u)-1=2Φ(u)-1
fU(u)=F'(u)=2Φ'(u)=2fV(u)=2/√2π*e^(-u^2/2) u>=0

E(u) =2/√2π*∫(0,∞) u*e^(-u^2/2) du
=-2/√2π*∫(0,∞) e^(-u^2/2) d(-u^2/2)
=-2/√2π* (e^(u^2/2) (0,∞)
=2/√2π=√2/π

Answer 3

用积分做就是了。
先算出x，y的联合概率密度函数，然后在定义区间上算积分就好了追问

积分区间不会 也不会算积分 给个详解吧~谢了

追答

这个不好打积分符号什么的啊。没办法，f（x，y）=fX（x）*fY（y）嘛
f（x，y）就是积分函数啊，积分区间就是|X-Y|的面积

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Answer 4

E(│X-Y│)=0
Var(│X-Y│) =1