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    • 第十六讲 三重积分、曲线和曲面积分

    如题所述

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    第1个回答  2022-06-13
    这一讲的内容主要是解决五大积分(三重积分、第一型曲线积分、第一型曲面积分、第二型曲线积分和第二型曲面积分)的问题
    本讲知识结构如下：

    第一型曲线积分和一元积分的区别其实就是将原来的微分dx替换成弧微分ds

    与第一型曲面积分对应的是二重积分，但是也采用和第一型曲线积分同样的处理方法

    第二型曲线积分的几何意义与向量场相关，最具体的实例就是变力沿曲线做功的问题
    变力沿曲线做功的微分形式：
    其中 是 沿x方向的分力， 是 沿y方向的分力
    所以变力沿着一条曲线做功的总和为
    对于空间曲线也是同样的：
    平面第二型曲线积分的计算：

    3.格林公式法：设平面有界闭区域D由分段光滑曲线L围成， 在D上具有一阶连续偏导数，L取正向，则

    这里所谓的L取正向，是指假如有一个人沿着L行走，L所围成的区域D永远在他的左手侧

    需要注意的是，在下面两种情况下，格林公式无法直接使用，但是可以通过“补线法”或者“挖去法”来使用格林公式

    和第二型曲线积分一样，第二型曲面积分没有几何意义，只是有物理意义，一般的第二型曲面积分为

    第二型曲面积分的计算方法可以将其当作第一型曲面积分来进行处理，即

    其中 为 在 平面上的投影，当 的法向量与z轴的夹角为锐角时，积分取正，否则取负。
    和第二型曲线积分一样，第二型曲面积分在积分区域是封闭曲面，并且处处可偏导的情况下可以使用高斯公式直接转换成三重积分：
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